Mini-Projet

Modélisation

Lorsqu’on lance un objet en l’air, hormis le cas où il est lancé verticalement, sa trajectoire est une courbe que l’on peut assimiler à une parabole :

On simule le mouvement d’une balle de masse m, dans une région où règne un champ de pesanteur uniforme. Le système étudié est la balle, modélisée par son centre B. On étudie ce mouvement dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen muni d’un repère orthonormé de l’espace (O ; $\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$), choisi tel que la vitesse initiale soit dans le plan vertical (O ;$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$). La simulation permet de choisir un espace où règne exclusivement le champ de pesanteur uniforme. A l’instant t = 0, le point B est en O.

Les forces exercées sur la balle sont le poids $\overrightarrow{P}$ de la balle et les forces exercées par l’air $\overrightarrow{F}$
Sa vitesse initiale est et l’orientation est repérée par l’angle $\alpha$.
Le lieu de l’expérience associé à une intensité de pesanteur $\overrightarrow{g}$.
Les valeurs des forces exercées par l’air sont très faibles devant celle de son poids. On peut donc considérer que la balle n’est soumise qu’à son poids (frottement négligé) et le système est en chute libre.

D’après la deuxième loi de Newton , on a : $\sum{\overrightarrow{F}}= \frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$ avec $\overrightarrow{p}= m \overrightarrow{v}$.

La masse de la balle ne variant pas au cours du temps, on peut donc écrire : $\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{d(m\overrightarrow{v})}{dt}= m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt} =m\overrightarrow{a}$ . où $\overrightarrow{a}$ est le vecteur accélération.

Or, $\sum{\overrightarrow{F}}= \overrightarrow{P}$. Donc, $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}$ soit $\overrightarrow{a}= \overrightarrow{g}$.

Dans le repère orthonormé (O ; $\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{k}$) les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{g}$ sont $(g_{x} = 0 ; g_{y} = -g ; g_{z} = 0 )$, donc celle de $\overrightarrow{a}$ sont $(a_{x} = 0 ; a_{y} = -g ; a_{z} = 0 )$

Le vecteur accélération $\overrightarrow{a}$ est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ : $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$, soit :

$\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}= a_x = 0$, $\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}= a_y = -g$ et $\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}= a_z = 0$. En utilisant les primitives, on a donc : $v_x = C_x$, $v_y = -gt + C_y$, $v_z = C_z$, où $C_x, C_y$ et $C_z$ sont des constantes d’intégration.

A l’instant $t = 0$, on a :$\overrightarrow{v}(C_x ; C_y ; C_z) = \overrightarrow{v}(v_{0}cos \alpha ; v_{0}sin \alpha ; 0)$ , donc, $v_x = C_x = v_{0}cos\alpha$, $v_y = -gt + v_{0}sin\alpha$ et $v_z = 0$. Or, le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ est la dérivée par rapport au temps du vecteur position $\overrightarrow{OG}$ :

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$ , soit : $\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}= v_x=v_{0}cos\alpha$, $\frac{d\overrightarrow{y}}{dt}= v_y = -gt + v_{0}sin\alpha$ et $\frac{d\overrightarrow{z}}{dt}= v_z = 0$.

En intégrant par rapport au temps t, on obtient les coordonnées du vecteur position : où g vaut environ $9,8 m.s^{-2}$. Ainsi, la position de la balle est donnée en fonction du temps t par : $\overrightarrow{OG}\begin{pmatrix}x(t) = x(0)+v_{0}\times t \times cos\alpha \\ y(t) = y(0)-\frac{1}{2}g\times t^2 + v_{0}\times t \times sin\alpha \\ 0 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$. Ainsi, la position de la balle est donnée en fonction du temps t par :

$\left\{ \begin{array}{ll} x(t) = x(0)+v_{0}\times t \times cos\alpha \\ y(t) = y(0)-\frac{1}{2}g\times t^2 + v_{0}\times t \times sin\alpha & t \in \mathbb{R}\\ 0 \end{array} \right.$

Conception et réalisation d’une solution informatique en réponse à ce problème physique

Dans ce projet on utilise le module Tkinter. Le projet consiste à bâtir une application autour d’un concept de menu interactif. L’étude, étape par étape, va nous permettre de réaliser ce projet.

Cahier des charges :

Il s’agit d’écrire une application interactive qui permet de lancer une balle afin de toucher une cible figée ou mobile. Les fonctionnalités fournies par le programme de gestion du mouvement de balle sont les suivantes :

Créer une fonction d’animation permettant de simuler le mouvement de la balle
Créer l’objet visé
Placer un widget Entry qui permet de saisir la vitesse initiale
Placer un widget Entry qui permet de saisir l’angle de tir
Placer un bouton qui permet de lancer la balle
Faire des statistiques : par exemple le pourcentage de succès, ou d’échecs, …
Sauvegarder des données statistiques dans un fichier texte

Etape 1 :

On crée une fonction récursive nommée animation() permettant de gérer le déplacement de la balle comme suit :

Pour animer le déplacement de la balle, on utilise la méthode after() du module tkinter qui va nous permettre de déclencher une fonction après un délai précisé en millisecondes et qui a l’avantage de ne pas bloquer les autres processus (rafraîchissement de l’écran, détection des actions de la souris ou du clavier…) en procédant de la manière suivante : fenetre.after(delai, animation).

où fenetre est le nom de la fenêtre créée dans laquelle on anime la balle. animation est le nom de la fonction récursive animation() créée de la façon suivante :

On donne les coordonnées de la balle
On place la balle
On teste si la balle a touché la cible ou pas
- si la balle sort de l’écran ou touche le sol, on réinitialise sa position
- sinon, on continue de faire voler la balle
Ensuite, la fonction animation() s'appelle elle-même comme suit : fenetre.after(50,animation)

Une proposition de réponse :

# -*- coding: utf-8 -*-
from tkinter import *
import random, math
#import pygame.mixer

def animation() :
    global t
    # Conversion en radians de l'angle en degré.
    angle = (float(angleD) / 180) * math.pi

    # Calcul des coordonnées de la balle
    x = force * math.cos(angle) * t + 10
    y = -5 * t **2 + force * math.sin(angle) * t + 50
    y = 600 - y # On "inverse" l'axe des y

    # On place un point blanc et la balle
    Fond.create_oval(x-2,y-2,x+2,y+2, fill = 'white', outline='white')
    Fond.coords(balle, x-10,y-10,x+10,y+10)
    #pygame.mixer.init()
    # On teste la position de la balle :
    if (Xb-x)**2 + (Yb - y)**2 < 400 :
        # Si on touche la balle
        Fond.create_text(400,300,text="BRAVO ", fill='black', font=("Arial",120))
        B.grid_forget()
        Fond.delete(balle)
        #bruit=pygame.mixer.Sound('oiseau.ogg')
        #bruit.play()
    elif y > 550 :
        # Si on touche le sol
        x, y = 20, 550
        Fond.coords(balle, x-10, y-10,x+10,y+10)
    else :
        # Sinon, on continue de faire voler la balle
        t = t + 0.5
        fenetre.after(50,animation)

Etape 2:

On crée une deuxième fonction nommer `lancer()` qui permet de lancer la balle de la façon suivante :

On initialise le temps
On récupère la valeur de la vitesse initiale
On récupère la valeur de l’angle de tir
Ensuite, on lance la fonction animation() créée auparavant.
Ensuite, la fonction animation() s'appelle elle-même comme suit : fenetre.after(50,animation) c'est-à-dire dans ce cas : la fonction récursive animation() est déclenchéé après chaque 50 ms

Une proposition de réponse :

# -*- coding: utf-8 -*-
def lancer():
    global t, force, angleD
    t = 0
    force = eval(EForce.get())
    angleD = eval(EAngle.get())
    animation()

Etape 3:

Afin de pouvoir toucher la cible en lançant la balle, on a besoin de :

créer un widget Entry qui permet de saisir la vitesse initiale
créer un widget Entry qui permet de saisir l’angle de tir
récupèrer les valeurs de la vitiesse initiale et de l’angle de tir
créer un bouton qui permet de lancer la balle à l’aide la fonction lancer() créée auparavant.
placer la balle qu’on veut relancer
créer l’objet visé

Une proposition de réponse :

fenetre=Tk()
fenetre.title("Parabole")

# Le fond de la fenêtre de jeu
Fond=Canvas(fenetre,width=800,height=600,bg="white")
Fond.grid(columnspan = 5)

# Force du lancer
Label(fenetre,text="Force (1 à 100) : ").grid(column = 0, row = 1)
EForce = Entry(fenetre)
EForce.grid(column = 1, row = 1)

# Angle de départ
Label(fenetre,text="Angle (0 à 90) : ").grid(column = 2, row = 1)
EAngle = Entry(fenetre)
EAngle.grid(column = 3, row = 1)

# Bouton de tir
B = Button(fenetre,text='LANCER',command=lancer)
B.grid(column = 4, row = 1)

# Placement de la balle visée
Xb = random.randint(200,740)
Yb = random.randint(300,550)
balle1 = Fond.create_oval(Xb-10, Yb-10, Xb+10, Yb+10, fill='blue')
Fond.coords(balle1,Xb-10, Yb-10, Xb+10, Yb+10)

# Placement de la balle

balle = Fond.create_oval(20, 520,40,540, fill = 'red')

fenetre.mainloop()

Etape 4:

On modifie le programme précédant afin de pouvoir :

faire des statistiques : par exemple le pourcentage de succès, ou d’échecs, …
Sauvegarder des données statistiques dans un fichier texte.

Une proposition de réponse :

# -*- coding: utf-8 -*-
# -*- coding: utf-8 -*-
from tkinter import *
import random, math
#import pygame.mixer

def animation() :
    global t
    # Conversion en radians de l'angle en degré.
    angle = (float(angleD) / 180) * math.pi

    # Calcul des coordonnées de la balle
    x = force * math.cos(angle) * t + 10
    y = -5 * t **2 + force * math.sin(angle) * t + 50
    y = 600 - y # On "inverse" l'axe des y

    # On place un point blanc et la balle
    Fond.create_oval(x-2,y-2,x+2,y+2, fill = 'white', outline='white')
    Fond.coords(balle, x-10,y-10,x+10,y+10)
    #pygame.mixer.init()
    # On teste la position de la balle :
    if (Xb-x)**2 + (Yb - y)**2 < 400 :
        # Si on touche la balle
        Fond.create_text(400,300,text="BRAVO ", fill='black', font=("Arial",120))
        B.grid_forget()
        Fond.delete(balle)
        #bruit=pygame.mixer.Sound('oiseau.ogg')
        #bruit.play()
    elif y > 550 :
        # Si on touche le sol
        x, y = 20, 550
        Fond.coords(balle, x-10, y-10,x+10,y+10)
    else :
        # Sinon, on continue de faire voler la balle
        t = t + 0.5
        fenetre.after(50,animation)

def lancer():
    global t, force, angleD
    t = 0
    force = eval(EForce.get())
    angleD = eval(EAngle.get())
    animation()

fenetre=Tk()
fenetre.title("Parabole")

# Le fond de la fenêtre de jeu
Fond=Canvas(fenetre,width=800,height=600,bg="white")
Fond.grid(columnspan = 5)

# Force du lancer
Label(fenetre,text="Force (1 à 100) : ").grid(column = 0, row = 1)
EForce = Entry(fenetre)
EForce.grid(column = 1, row = 1)

# Angle de départ
Label(fenetre,text="Angle (0 à 90) : ").grid(column = 2, row = 1)
EAngle = Entry(fenetre)
EAngle.grid(column = 3, row = 1)

# Bouton de tir
B = Button(fenetre,text='LANCER',command=lancer)
B.grid(column = 4, row = 1)

# Placement de la balle visée
Xb = random.randint(200,740)
Yb = random.randint(300,550)
balle1 = Fond.create_oval(Xb-10, Yb-10, Xb+10, Yb+10, fill='blue')
Fond.coords(balle1,Xb-10, Yb-10, Xb+10, Yb+10)

# Placement de la balle

balle = Fond.create_oval(20, 520,40,540, fill = 'red')

fenetre.mainloop()

Etape 5:

On modifie le programme précédant afin de pouvoir :

Remplacer l’objet ciblé par un panier de basket, vous pouvez télécharger cette image en cliquant ici
Remplacer la balle par un ballon de basket, vous pouvez télécharger cette image en cliquant ici
Donner au joueur la possibilité d’essayer de lancer trois fois le ballon
- créer le nombre de fichiers texte en fonction du nombre de joueurs qui participent à ce jeu
- sauvegarder le score d’une partie dans un fichier texte.

Une proposition de réponse :

# -*- coding: utf-8 -*-
from tkinter import *
import random, math
#import pygame.mixer

def animation() :
    global t
    # Conversion en radians de l'angle en degré.
    angle = (float(angleD) / 180) * math.pi

    # Calcul des coordonnées de la balle
    x = force * math.cos(angle) * t + 10
    y = -5 * t **2 + force * math.sin(angle) * t + 50
    y = 600 - y # On "inverse" l'axe des y

    # On place un point blanc et la balle
    Fond.coords(balle, x,y)
    if (Xb-x)**2 + (Yb - y)**2 < 400 :
        # Si on touche la balle
        Fond.create_text(400,300,text="BRAVO ", fill='black', font=("Arial",120))
        B.grid_forget()
        Fond.delete(balle)
        #bruit=pygame.mixer.Sound('oiseau.ogg')
        #bruit.play()
    elif y > 550 :
        # Si on touche le sol
        x, y = 20, 550
        Fond.coords(balle, x, y)
    else :
        # Sinon, on continue de faire voler la balle
        t = t + 0.5
        fenetre.after(50,animation)

def lancer():
    global t, force, angleD
    t = 0
    force = eval(EForce.get())
    angleD = eval(EAngle.get())
    animation()

fenetre=Tk()
fenetre.title("Parabole")

# Le fond de la fenêtre de jeu
Fond=Canvas(fenetre,width=800,height=600,bg="white")
Fond.grid(columnspan = 5)

# Force du lancer
Label(fenetre,text="Force (1 à 100) : ").grid(column = 0, row = 1)
EForce = Entry(fenetre)
EForce.grid(column = 1, row = 1)

# Angle de départ
Label(fenetre,text="Angle (0 à 90) : ").grid(column = 2, row = 1)
EAngle = Entry(fenetre)
EAngle.grid(column = 3, row = 1)

# Bouton de tir
B = Button(fenetre,text='LANCER',command=lancer)
B.grid(column = 4, row = 1)

# Placement de la balle visée
Xb = random.randint(200,740)
Yb = random.randint(300,550)
panier_B = PhotoImage(file = "panier_B.gif")
panier = Fond.create_image(Xb, Yb, image = panier_B)
Fond.coords(panier,Xb, Yb)

# Placement de la balle
ballon = PhotoImage(file = "ballon_B.gif")

balle = Fond.create_image(30, 530, image = ballon)

fenetre.mainloop()

Mini-Projet

Modélisation

Conception et réalisation d’une solution informatique en réponse à ce problème physique

Cahier des charges :

Etape 1 :

On crée une fonction récursive nommée animation() permettant de gérer le déplacement de la balle comme suit :

Une proposition de réponse :

Etape 2:

On crée une deuxième fonction nommer lancer() qui permet de lancer la balle de la façon suivante :

Une proposition de réponse :

Etape 3:

Afin de pouvoir toucher la cible en lançant la balle, on a besoin de :

Une proposition de réponse :

Etape 4:

On modifie le programme précédant afin de pouvoir :

Une proposition de réponse :

Etape 5:

On modifie le programme précédant afin de pouvoir :

Une proposition de réponse :

On crée une deuxième fonction nommer `lancer()` qui permet de lancer la balle de la façon suivante :