Ensembles, intervalles et encadrement

Exemples

$3$ est un entier naturel, on écrit $3 \in \mathbb{N}$ et on lit « 3 appartient à l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$
$-3$ n’est pas un entier naturel, on écrit $-3 \notin \mathbb{N}$ et on lit « -3 n’appartient pas à l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ».
$\sqrt{49}$ est un entier naturel, car $\sqrt{49}=7$ et $7 \in \mathbb{N}$.
$\sqrt{3}$ n’est pas un entier naturel.

$3 \in \mathbb{Z}$.
$-3 \in \mathbb{Z}$.
$2,1 \notin \mathbb{Z}$ car $2,1$ n'est pas un entier.
$\dfrac{2}{5} \notin \mathbb{Z}$ car $\dfrac{2}{5}=0,4$ et $0,4$ n'est pas un entier.

$3,25$ est un nombre décimal car $3,25 =\dfrac{325}{{10}^{2}}$ ($3,25\in \mathbb{D}$).
$-7$ est un nombre décimal car $-7 = \dfrac{-7}{{10}^{0}}$ ($-7\in \mathbb{D}$).
$\dfrac{5}{8}$ est un nombre décimal car $\dfrac{5}{8}=0,625 = \dfrac{625}{{10}^{3}}$ ($\dfrac{5}{8}\in \mathbb{D}$).
$\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal ($\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{D}$).

$0,11$ est un nombre rationnel car $0,11 =\dfrac{11}{100}$ ($0,11\in \mathbb{Q}$).
$-5$ est un nombre rationnel car $-5 = \dfrac{-5}{1}$ ($-5\in \mathbb{Q}$).
$\dfrac{1}{3}$ est un nombre rationnel ($\dfrac{1}{3}\in \mathbb{Q}$).
$\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel ($\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$).

$3,25$ est un nombre réel ($3,25\in \mathbb{R}$).
$\dfrac{2}{3}$ est un nombre réel ($\dfrac{2}{3}\in \mathbb{R}$).
$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$ mais $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.
$\pi$ est un nombre irrationnel $\pi \in \mathbb{R}$ mais $\pi \notin \mathbb{Q}$.
$\dfrac{\pi}{3}$ est un nombre irrationnel, $\dfrac{\pi}{3}\in \mathbb{R}$ mais $\dfrac{\pi}{3}\notin \mathbb{Q}$.

Placer les nombres suivants :
$\dfrac{1}{3}$ ; $-15$ ; $\dfrac{45}{9}$ ; $\dfrac{45}{9}$ ; $-\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\sqrt{3}$ ; $\sqrt{49}$ ; ${10}^{3}$ ; $5,871$ ; $\sqrt{47}$ ; ${10}^{-5}$ ; $\pi$.

Compléter le tableau suivant :

Intervalle	Ensemble des réels $x$ tels que	Représentation géométrique
$x\in \left]-2~ ; ~4,5\right]$
	$\sqrt{2}\leq x\leq \dfrac{7}{3}$

$x \in \left]-\infty~;~4\right[$
	$x \geq -2$

Représenter l’intervalle $I$ correspondant à l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $-2 \lt x \leq 5$.
Représenter l’intervalle $J$ correspondant à l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \lg 3$.
Représenter l’intersection des intervalle $I$ et $J$ notée $I \cup J$.
Représenter la réunion des intervalle $I$ et $J$ notée $I \cap J$.

d'amplitude ${10}^{-1}$
d'amplitude $0,01$
d'amplitude ${10}^{-3}$

à ${10}^{-1}$
à $0,01$ près
à ${10}^{-3}$ près

Exercices

Placer les nombres réels suivants sur l'axe réel ci-dessous :
$-\sqrt{3}$ ; $\dfrac{5}{4}$ ; $-\dfrac{4}{3}$ ; $\pi$ ; $\dfrac{5}{6}$ ; $\sqrt{5}$.
module

Pour chaque nombre, indiquer les ensembles auquel il appartient.

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$42$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$7\times 10^{-3}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$\dfrac{\pi}{2}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$-\dfrac{42}{6}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$\dfrac{7}{6}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$\sqrt{400}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$\sqrt{5}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$

Les affirmations suivants sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$
$\mathbb{N} \in \mathbb{Z}$
$\mathbb{Q} \subset \mathbb{D}$
$0,3 \in \mathbb{Q}$
$-3,5 \in \mathbb{Z}$

Déterminer le plus petit ensemble auquel appartiennent les nombres suivants :

$-\dfrac{63}{7}$
$3\pi$
$\sqrt{36}$
$7÷5+3$
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{{25\times 2}^{4}}{4^{2}\times 5^{2}}$
$\dfrac{6}{5}-\dfrac{17}{14}\div \dfrac{5}{7}$
$\dfrac{{5\times 10}^{4}\times 1,6}{0,4\times {10}^{-2}}$
$\left(\sqrt{2}-3\right)\left(\sqrt{2}+3\right)$

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

$0,03$ est un nombre rationnel.
Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais un nombre rationnel.
Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est toujours un nombre décimal.
L’inverse d’un nombre décimal non nul n’est jamais un nombre entier.
L’opposé d’un entier relatif est toujours un entier relatif.
L’inverse d’un nombre décimal non nul est toujours un nombre décimal.
Le quotient d’un nombre décimal par un nombre entier non nul est toujours un nombre décimal.

Dans chaque cas suivant, représenter graphiquement les intervalles et déterminer leur intersection.

$I=\left[-3~;~7\right]$ et $J=\left[-1~;~10\right]$
$I=\left]-\infty ~ ;~-1\right]$ et $J=\left[-3~ ;~5\right]$
$I=\left[-2~;~1\right]$ et $J=\left[3~;~+\infty \right[$.

Dans chaque cas suivant, représenter graphiquement les intervalles et déterminer leur réunion.

$I=\left[-3~;~7\right]$ et $J=\left[-1~;~10\right]$
$I=\left]-\infty ~ ;~-1\right]$ et $J=\left[-3~ ;~5\right]$
$I=\left[-2~;~1\right]$ et $J=\left[3~;~+\infty \right[$.

Dans chaque cas suivant, représenter graphiquement les intervalles et déterminer leur intersection.

$I=\left[3,5~ ;~7\right]$ et $J=\left[-1~ ;~4\right]$
$I=\left]-\infty ~ ;~-2\right]$ et $J=\left[-4~ ;~ 5\right[$
$I=\left[1~;~2\right]$ et $J=\left[0~ ;~+\infty \right[$.
$I=\left[-5~ ;~-3\right]$ et $J=\left[-2~ ;~+\infty \right[$.

Dans chaque cas suivant, représenter graphiquement les intervalles et déterminer leur réunion.

$I=\left[3,5~ ;~7\right]$ et $J=\left[-1~ ;~4\right]$
$I=\left]-\infty ~ ;~-2\right]$ et $J=\left[-4~ ;~ 5\right[$
$I=\left[1~;~2\right]$ et $J=\left[0~ ;~+\infty \right[$.
$I=\left[-5~ ;~-3\right]$ et $J=\left[-2~ ;~+\infty \right[$.

Dans chaque cas suivant, représenter graphiquement les intervalles et déterminer leur intersection.

$I=\left]-3~ ;~4\right]$ et $J=\left[2~ ;~7\right[$
$I=\left]-\infty ~ ;~5\right]$ et $J=\left[7~ ;~ +\infty \right[$
$I=\left]-1~ ;~4\right[$ et $J=\left]0~ ;~ +\infty \right[$.
$I=\left[4~ ;~12\right[$ et $J=\left]7~ ;~15\right[$.

Dans chaque cas suivant, représenter graphiquement les intervalles et déterminer leur réunion.

$I=\left]-3~ ;~4\right]$ et $J=\left[2~ ;~7\right[$
$I=\left]-\infty ~ ;~5\right]$ et $J=\left[7~ ;~ +\infty \right[$
$I=\left]-1~ ;~4\right[$ et $J=\left]0~ ;~ +\infty \right[$.
$I=\left[4~ ;~12\right[$ et $J=\left]7~ ;~15\right[$.

Soient trois intervalles $I=\left[-5~ ;~4\right]$, $J=\left]-1~ ;~6\right[$ et $K=\left[5~ ;~ +\infty \right[$.

$I\cap J$
$I\cup J$
$I\cap K$
$I\cup K$
$J\cap K$
$J\cup K$

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.

$2\in \left[3,5~ ;~7\right]\cup \left[-1~ ;~4\right]$
$0\in \left]-\infty ~ ;~0\right[\cup \left]0~ ;~ +\infty \right[$
$0\in \left]-\infty ~ ;~0\right[\cup \left[0~ ;~ +\infty \right[$
$-1\in \left]-\infty ~ ;~-2\right[\cup \left]0~ ;~ +\infty \right[$
$\frac{1}{2}\in \left[-2~ ;~-0,5\right[\cup \left[0~ ;~4\right]$

Recopier et compléter les équivalences suivantes, dans lesquelles $x\in \mathbb{R}$.

$-5\lt x \lt 4 \iff x \in \left]... ~;~ ... \right[$
$... \leq x \leq ... \iff x\in \left[-2~;~3\right]$
$ .............. \iff x\in \left[-0,5~;~-0,25\right[$
$x \lt 5 \iff ...................$
$2 \leq x \iff ...................$
$.................. \iff x\in \left]-\infty ~; 3\right[~$
$.................. \iff x\in x\in \left[-1~;~+\infty \right[$

Répondre par vrai ou faux.

"Si $x\in \mathbb{R}$ et $0 \leq x \leq 2$, alors $x\in \left[0~;~3\right]$"
"Si $x\in \mathbb{R}$ et $x\in \left]-5~;~3\right[$, alors $-5 \lt x \lt 4$"
"Si $x\in \mathbb{R}$ et $1\lt x^{2}\lt 4$, alors $x\in \left]1~;~2\right[$"
"Si $x\in \mathbb{N}$ et $0 \leq x \lt 1$, alors $x = 0$"

Compléter par : $\in$ ou $\notin$ (la calculatrice est interdite).

$\dfrac{13}{5}.............\left[2~;~3\right]$
$0,666.............\left[\frac{2}{3}~;~1\right]$
$\sqrt{8}.............\left]2~;~ 3\right[$
$\dfrac{6}{5}.............\left[1~;~1,1\right]$
$\dfrac{\sqrt{10}}{3}.............\left[1~;~1,4\right[$
$\dfrac{3}{8}.............\left[\dfrac{3}{9}~;~\dfrac{3}{7}\right]$

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

"Si $x \in \mathbb{Z}$ alors $x^{2}\in \mathbb{Z}$"
"Si $x \in \mathbb{D}$ alors $\dfrac{1}{x}\in \mathbb{D}$"

Recopier et compléter avec le plus petit ensemble qui convient.

Pour $x=-\sqrt{2}$ et $y=2$, le nombre $3x^{2}- 4y \in ...$
Pour $x=\dfrac{3}{2}$, le nombre $\dfrac{x+1}{-2x}\in ...$

Un nombre décimal x est tel que :

$100x \in \mathbb{N}$ ;
$x$ comporte au moins un chiffre impair;
$62 \lt 10x \lt 63$
Son chiffre des centièmes appartient à $\left]1~;~3\right[$

On utilise la définition suivante : les chiffres significatifs d’un nombre sont tous les chiffres utiles du nombre lorsqu’il est écrit en écriture scientifique.

Exemple : $0,0054\ =\ 5,4\times {10}^{-3}$ a deux chiffres significatifs.

Donner le nombre de chiffres significatifs de chacun des nombres suivants :

$0,00987$
$7,9$
$98,7$
$0,005000$
$3,008\times {10}^{5}$

Donner un encadrement de $\sqrt{29}$ par deux nombres entiers consécutifs.
Quel est le nombre entier le plus proche ?
Déterminer un encadrement décimal d’amplitude ${10}^{-1}$ de $\sqrt{29}$.
Déterminer l’arrondi à ${10}^{-2}$ de $\sqrt{29}$.

Encadrement par balayage de $\sqrt{5}$.

1. Montrer que $\sqrt{5}$ est une solution de l’équation $x^{2}-5=0$.
2. Quel est le signe de $\left(2,2\right)^{2}-5$ ? de $\left(2,3\right)^{2}-5$ ?
3. En déduire un encadrement de $\sqrt{5}$ à $0,1$ près.
En s’inspirant de la question 1.b), chercher un encadrement de $\sqrt{5}$ à $0,01$ près.
On pourra s’aider du tableau suivant :

x	y = x + 0,01	x² − 5	y² − 5
2,2	2,21	< 0	< 0
2,21
2,22
...
...

Cette méthode de recherche est appelée méthode par balayage.

Raisonner par absurde, c’est partir d’une assertion supposée vraie et démontrer qu’il y a une incohérence, ce qui montre que cette assertion de départ est en fait fausse.

En un raisonnement par absurde, démontrer que $\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{D}$.
En s’aidant des étapes décrites, recopier et compléter la démonstration.
Raisonnons par absurde et supposons que \frac{1}{3} est un nombre décimal.

Il existe donc un entier a et un entier naturel n, tels que $\dfrac{1}{3}~=~...$
On alors : ${10}^{n}=~...~$ cette égalité entraîne que ${10}^{n}$ est un multiple de $ ... $
Or, la somme des chiffres de ${10}^{n}$ est égale à $~...~$ puisque ${10}^{n}=~... $
${10}^{n}$ est à la fois un multiple de $~...~$ et la somme de ses chiffres n’est pas un multiple de $~...~$, ce qui est absurde.

Donc que $\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{D}$.

En un raisonnement par absurde, démontrer que $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.
En s’aidant des étapes décrites, recopier et compléter la démonstration.
Raisonnons par absurde et supposons que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.

Il existe donc $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ( car $\sqrt{2}\gt 0$) et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, tels que $\sqrt{2} =~...~$ , fraction que l’on considère irréductible.
On alors : $\dfrac{p^{2}}{q^{2}} =~...~$ , donc $p^{2} = ...~$ et $p^{2}$ est un $~...~$ (car un nombre pair est un multiple de $2$).
Comme le carré d’un nombre pair est pair, $p$ est nécessairement un $ ... $
D’une part, comme $p$ est pair, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $p=2n$ et ainsi $p^{2} =~...~$
$p^{2} = 2q^{2} =~...~$ donc $q^{2} =~...~$ et $q^{2}$ est un nombre $~...~$
D’autre part, comme la fraction est irréductible et que $p$ est pair, $q$ est nécessairement un $~...~$, et donc $q^{2}$ l’est aussi.
$q^{2}$ est à la fois un nombre $~...~$ et un nombre $~...~$, ce qui est absurde.

Donc $\sqrt{2}\notin \ \mathbb{Q}$.

Exercices d'approfondissement.

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