Rappel

  1. Expressions additives :

    • Pour tous nombres $a$ et $b$ on a : $a - b = a + (-b)$
    • Pour tous nombres $a$ et $b$ on a : $-(a + b) = -a-b$
    • Pour tous nombres $a$ et $b$ on a : $-(a - b) = -a+b = b - a$

    • $1-(-8) = 1+8 = 9$
    • $-2+7 = 7 - 2 = 5$
    • $-3-4 = -(3 + 4) = -7$

  2. Expressions multiplicatives :

    • Pour tout nombre $a$, on a : $ \dfrac{a}{-1}= (-1)\times a = -a$
    • Pour tout nombre $a$, on a : $-(-a) = a$
    • Pour tout nombre $a$, on a : $0\times a = 0$
    • Pour tous nombres $a$, et $b$ non nul on a : $\dfrac{a}{b} = a\times \dfrac{1}{b}$
    • Pour tout nombre $a$ non nul, on a : $ \dfrac{0}{a}= 0$
    • Pour tout nombre $x$, on a : $x= 1\times x$
    • Pour tout nombre $x$, on a : $x= \dfrac{x}{1}$
    • Pour tout nombre $a$ non nul, on a : $\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}} = a$
    • Pour tous nombres $a$ et $b$ non nuls, on a : $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{b}{a}$

  3. Vocabulaire :

    • Pour tout nombre $a$, l'opposé de $a$ est $-a$.
    • Pour tout nombre $a$ non nul, l'inverse de $a$ est $\dfrac{1}{a}$.
    • Pour tout nombre $a$ non nul, l'inverse de $\dfrac{1}{a}$ est $a$.
    • Pour tous nombres $a$ et $b$ non nuls, l'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$

    • L'inverse de $1$ est $1$
    • l'inverse de $3$ est $\dfrac{1}{3}$
    • l'inverse de $\dfrac{1}{\pi}$ est $\pi$
    • l'inverse de $0,5$ est $2$
    • l'inverse de $0,25$ est $4$
    • l'inverse de $\dfrac{5}{7}$ est $\dfrac{7}{5}$

  1. Produit de deux fractions

    2. Pour tous nombres réels, $a$, $b$, $c$ et $d$, avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$.

    • $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ équivaut à : $a\times d = b \times c$
    • $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times c}{b \times d}$
    • $\dfrac{b\times c}{b\times d} = \dfrac{c}{d}$
    • $a\times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times c}{d} =\dfrac{c\times a}{d} = c\times \dfrac{a}{d}$

    Une fraction irréductible est une fraction qu'on ne peut pas simplifier.

    • $\dfrac{28}{21} = \dfrac{7\times 4}{7\times 3}=\dfrac{4}{3}$
    • $\dfrac{5}{11}\times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5\times 2}{11\times 3}=\dfrac{10}{33}$
    • $\dfrac{28}{10}\times \dfrac{15}{21} = \dfrac{28\times 15}{10\times 21}=\dfrac{7\times 4\times 3\times 5}{2\times 5 \times 3\times 7}=\dfrac{4}{2} = 2$
    • $11\times \dfrac{3}{22} = \dfrac{11\times 3}{11\times 2}=\dfrac{3}{2}$
    • $\dfrac{7}{18} \times 9 = \dfrac{7\times 9}{18}=\dfrac{7\times 9}{9\times 2}=\dfrac{7}{2}$

  2. quotient de deux fractions

    3. Pour tous nombres réels, $a$, $b$, $c$ et $d$, avec $b \neq 0$, $c \neq 0$ et $d \neq 0$.
    $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c} =\dfrac{a\times d}{b \times c}$

    • Pour tous nombres réels, $a$, $b$, $c$ et $d$, avec $b \neq 0$, $c \neq 0$ et $d \neq 0$. $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}$
    • Diviser par une fraction fraction revient à multiplier par son inverse.

    • $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{3} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{2\times 3}{3\times 5}=\dfrac{2}{5}$
    • $\dfrac{12}{35}\div \dfrac{12}{28} = \dfrac{12}{35}\times \dfrac{28}{12}=\dfrac{12\times 28}{35\times 12}=\dfrac{28}{35}=\dfrac{4\times 7}{5\times 7}=\dfrac{4}{5}$
    • $5\div \dfrac{7}{5} = 5 \times {5\times 7}=\dfrac{5\times 5\times}{7} = \dfrac{25}{7}$
    • $\dfrac{15}{14} \div 5 = \dfrac{15}{14} \div \dfrac{5}{1} = \dfrac{15}{14} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{15}{14 \times 5}=\dfrac{3\times 5}{14\times 5}=\dfrac{3}{14}$
    • $\dfrac{\dfrac{5}{6}}{\dfrac{7}{5}} = \dfrac{5}{6} \div \dfrac{7}{5} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{7}=\dfrac{5\times 5}{6 \times 7}=\dfrac{25}{42}$

  3. Somme de deux fractions

    4. Pour tous nombres réels, $a$, $b$, $c$ avec $b \neq 0$.

    • $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$
    • $\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b}$

    Pour additionner ou soustraire deux fractions n’ayant pas le même dénominateur, on doit commencer par les réduire au même dénominateur.

    • $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{2+5}{3}=\dfrac{7}{3}$
    • $\dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{18} = \dfrac{1\times 3}{6 \times 3} - \dfrac{5}{18}= \dfrac{3}{18} - \dfrac{5}{18}= \dfrac{3-5}{18}=\dfrac{-2}{18} = \dfrac{2\times(-1)}{2\times 9} = \dfrac{-1}{9}$
    • $\dfrac{7}{2} + \dfrac{7}{5} = \dfrac{7 \times 5}{2\times 5} + \dfrac{7 \times 2}{5\times 2}=\dfrac{35}{10}+ \dfrac{14}{10}=\dfrac{35+14}{10}=\dfrac{49}{10}$
    • $3 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{1} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3\times9}{1\times 9} + \dfrac{2}{9}= \dfrac{27}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{27+2}{9} = \dfrac{29}{9}$

Exercices

  1. Simplifier la fraction suivante : $\dfrac{72}{48}$
  2. Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
    • $A = \dfrac{4}{7}\times \dfrac{3}{5}$
    • $B = \dfrac{14}{27}\times \dfrac{18}{35}$
    • $C = 13\times \dfrac{5}{39}$
    • $D = \dfrac{9}{14}\times 7$
    • $E = \dfrac{3x+6}{3}$

Code de déblocage de la correction :

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

Code de déblocage de la correction :

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

Code de déblocage de la correction :

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

Code de déblocage de la correction :

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

Code de déblocage de la correction :

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

Code de déblocage de la correction :

Exercices d'approfondissement.

    $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$.
    1. Supposons que $\dfrac{a}{b}= \dfrac{c}{d}$.
      Multiplier les deux membres de cette égalité par $b\times d$. En déduire que $a\times d=b\times c$.
    2. Par un procédé analogue, prouver la réciproque :
      Si $a\times d=b\times c$, alors $\dfrac{a}{b}= \dfrac{c}{d}$.
    1. Simplifier l’expression : $b\times d\times \dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}$.
      En déduire que $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}= \dfrac{a\times c}{b\times d}$.
    2. En déduire que $\dfrac{b\times c}{b\times d}= \dfrac{c}{d}$ et $a\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{d}$.
    $a$, $b$ et $c$ sont des nombres avec $c\neq 0$.
  2. Développer puis simplifier l’expression : $c\times \left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)$.
  3. En déduire que $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}= \dfrac{a+b}{c}$.
$a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres avec $b$, $c$ et $d$ sont non nuls.
Démontrer que $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}= \dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$.

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