Exemples

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^2-x+3$.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$

Code de déblocage de la correction :

    Soit $f$ la fonction définie sur $]-0,5~;~3[$ par : $f(x)=x^3-3x^2+3$.
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-0,5~;~3]$.
  2. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $[-0,5~;~3]$

Code de déblocage de la correction :

    $u$ et $v$ sont les fonctions définies sur $I=[3~;~ +\infty[$ par : $u(x) = x-3$ et sur $J=[0~ ;~+\infty[$ par $v(x) = \sqrt{x} + 3$.
  1. Démontrer que la fonction $v \circ u$ est définie sur $I$ et déterminer l'expression de $v\circ u(x)$, pour tout réel $x\in I$.
  2. Démontrer que la fonction $u \circ v$ est définie sur $J$ et déterminer l'expression de $u\circ v(x)$, pour tout réel $x\in J$.

Code de déblocage de la correction :

    Calculer les limites suivantes :
  1. $\lim\limits_{x \to +\infty}e^{2-x^2}$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
  3. $\lim\limits_{x \to +\infty}e^{\frac{1}{x}}$

Code de déblocage de la correction :

Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=e^{x^2-1}$.

Code de déblocage de la correction :

Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

Code de déblocage de la correction :

    Calculer les dérivées des fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ dérivables sur $\mathbb{R}$ dont les expressions sont :
  1. $f(x)= \sqrt{5x^2-2x+3}$
  2. $g(x)=(x^2+5x+7)^3$.
  3. $h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^5}$.
  4. $k(x)= e^{5x^2-3x+1}$.

    5. Code de déblocage de la correction :

Exercices

    Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= xe^{-2x}$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
  1. Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
  2. Quelle conséquence graphique peut-on déduire ?
  3. Calculer, pour tout réel $x$, $f'(x)$.
  4. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x}- 2e^x+1$.
  1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
  2. Déterminer $f'(x)$, étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x+1+xe^{-x}$.
    On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~,\vec{j})$.
    Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 1 – x +e^x$.
    1. Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    2. Déterminer $g'(x)$, étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
    3. En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$
  2. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
  3. On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = e^{–x}g(x)$.
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  5. Démontrer que la droite $\mathscr{T}$ d’équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
  6. Etudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}_f$ et de la droite $\mathscr{T}$.

Code de déblocage de la correction :

Exercices d'approfondissement.

    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (1-2x)e^{2x}$.
    On définit les dérivées successives de $f$ par : $f^{(1)} = f'$ et pour tout entier naturel $n \geq 1$, $f^{(n+1)}=(f^{(n)})'$.
  1. Montrer par récurrence que pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$ non nul : $f^{(n)}(x)=2^n(1-n-2x)e^{2x}$.
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, la courbe représentative de $f^{(n)}$, dans un repère, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en un point $M_n$.
    1. Calculer les coordonnées $(x_n~;~y_n)$ de $M_n$.
    2. Vérifier que la suite $(x_n)$ est arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
    3. Vérifier que la suite $(y_n)$ est géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

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