Exemples

  1. Que peut-on dire de la fonction carré ?
  2. Que peut-on dire de la fonction valeur absolue ?

Code de déblocage de la correction :

Que peut-on dire de la fonction exponentielle ?

Code de déblocage de la correction :

Que peut-on dire de la fonction racine carrée ?

Code de déblocage de la correction :

Que peut-on dire de la position relative de la courbe de la fonction racine carrée et de ses tangeantes ?

Code de déblocage de la correction :

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1,4~;~4,45]$ dont la représentation graphique est donnée ci-contre :

Déterminer graphiquement le (ou les) intervalle(s) où la fonction cube est convexe puis celui (ou ceux) où elle est concave.

 module

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $[-1,4~;~4,45]$ dont la représentation graphique est donnée ci-contre :
  1. Déterminer graphiquement le (ou les) intervalle(s) où f est convexe puis celui (ou ceux) où f est concave.
  2. En déduire le (ou les) point(s) d’inflexion éventuel(s).
 module

Code de déblocage de la correction :

Lire les coordonnées du (ou des) point(s) d’inflexion éventuel(s) des courbes (1) et (2) représentées ci-contre :

module

Code de déblocage de la correction :

Montrer que la fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$. module

Code de déblocage de la correction :

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2-e^x$. On suppose que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Montrer que la fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$. 		module

Code de déblocage de la correction :

    $f$ est une fonction définie sur $[-7~;~8]$ avec $f(-5)=-2$ et $f(1)=-3$.
    On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction dérivée $f’$ de $f$.
  1. Déterminer le (ou les) intervalle(s) où $f$ est convexe puis celui (ou ceux) où $f$ est concave.
  2. En déduire le (ou les) point(s) d’inflexion éventuel(s).
module

Code de déblocage de la correction :

Montrer que pour tous réels $x$ et $y$, $e^{\frac{x+y}{2}} \leq \dfrac{e^x+e^y}{2}$

Code de déblocage de la correction :

Exercices

$f$ est la fonction cube définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^3$. Etudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Code de déblocage de la correction :

    $f$ est une fonction définie sur $[2~;~6]$ avec $f(2)=5$, $f(3)=4$, $f(4)=5$ et $f(6)=7$.
    On donne ci-contre le tableau de variations de la fonction dérivée $f’$ de $f$.
  1. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave.
  2. Préciser le(s) point(s) d’inflexion de la courbe représentative de $f$.
 module

Code de déblocage de la correction :

Montrer que pour tous réels négatifs $x$ et $y$, $(x+y)^3 \geq 4(x^3+y^3)$

Code de déblocage de la correction :

    Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1-x)e^{3x}$.
  1. Déterminer le signe de $f''(x)$ suivant les valeurs de x .
  2. En déduire la convexité de la fonction $f$.
  3. Vérifier le résultat à l’aide du geogebra.

Code de déblocage de la correction :

    Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}(e^x-e^{-x})$.
  1. Déterminer le signe de $f''(x)$ suivant les valeurs de $x$ .
  2. En déduire la convexité de la fonction $f$.
  3. Vérifier le résultat à l’aide de geogebra.

Code de déblocage de la correction :

Pour tout entier naturel non nul $n$, $f_n$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n (x)= 10x^2 e^{nx-1}$. On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère.
Montrer que $\mathscr{C}_n$ admet deux points d’inflexion dont on donnera les abscisses.

Code de déblocage de la correction :

    Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{-x}+x^2-4$.
  1. Etudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  2. Déterminer l'équation de la tangeante à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.
  3. Montrer que pour tout réel $x$, $e^{-x}+x^2-4 \geq -x-3$

Code de déblocage de la correction :

Exercices d'approfondissement.

    Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2e^{3x}$.
    On admet que $f$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout entier naturel $n$, on note $f^{(n)}$sa dérivée n-ième.
    Par exemple, $f^{(1)}=f'$ et $f^{(2)}=f''$.
  1. Calculer $f^{(n)}(x)$, pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 :
    \[f^{(n)}(x) = (9x^2+6nx+n(n-1))3^{n-2}e^{3x}\]
  3. Vérifier cette formule pour est vraie aussi pour $n=0$ et $n=1$
  4. On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f^{(n)}$ dans un repère.
    Montrer que $\mathscr{C}_n$ admet deux points d’inflexion dont on donnera les abscisses.

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