Exemples

En utilisant la définition de la fonction $ln$, donner $ln(1)$ et $ln(e)$.

Code de déblocage de la correction :

Soient $x$ un réel et $y$ un réel strictement positif tels que $exp(x)=y$, compléter le tableau suivant :
Valeur de $x$ $...$ $0$ $ln(2)$ $1$ $...$ $...$ $ln(4)$ $3$
Valeur de $y$ $\dfrac{1}{e}$ $...$ $...$ $...$ $3$ $e^2$ $...$ $...$

Code de déblocage de la correction :

    On considère les expressionss suivantes :
    • $A= ln(32)$ ;
    • $B= ln(81) + ln\left(3\sqrt{3}\right)$ ;
    • $C=ln\left((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\right)$ ;
    • $D=3ln\left(e^5\right)+4ln\left(\left(\dfrac{1}{e}\right)^2\right)$
  1. Exprimer l'expression $A$ en fonction de $ln(2)$.
  2. Exprimer l'expression $B$ en fonction de $ln(3)$.
  3. Simplifier les expressions $C$ et $D$.

Code de déblocage de la correction :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
    Calculer les limites suivantes :
  1. $exp(2x – 1) = 16$
  2. $\left(ln(x)\right)^2 – ln(x) – 2 = 0$
  3. $ln(x – 3) + ln(2x + 1) = 2ln(2)$

Code de déblocage de la correction :

Donner une valeur approchée de $ln(0,99993)$ et $ln(1,0009)$ sans utiliser la calculatrice

Code de déblocage de la correction :

    Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
  1. $ln(x – 3) - ln(2x + 1) \leqslant 0$
  2. $ln(5 – x) > 2 ln(x + 1)$

Code de déblocage de la correction :

  1. Calculer la limite de $\dfrac{ln\left(x^2\right)}{x^3+x}$ en $+\infty$.
  2. Calculer la limite de $(x^3 - 4x^2 + x) ln(x)$ en $0$.

Code de déblocage de la correction :

Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie et dérivable sur $]-1~;~+\infty[$ par : $f(x) = ln(2x+2)$.

Code de déblocage de la correction :

Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = ln(x^2+2)$.

Code de déblocage de la correction :

    L’acidité d’une solution est mesurée par son $pH$ défini par : $pH = –log\left([H3O^+]\right)$ où $[H3O^+]$ désigne le nombre de moles par litre de l’ion $H3O^+$.
  1. Quel est le $pH$ d’une solution contenant $6\times 10^{-5}$ mole par litre de $H3O^+$ ?
  2. Le $pH$ d’un jus de citron est de $2,4$. Quel est le nombre de moles d’ions $H3O^+$ dans un litre de jus de citron ?
  3. Comment varie le $pH$ lorsque la concentration en $H3O^+$ double ?

Code de déblocage de la correction :

    Le nombre $N = 2^{82 589 933}-1$ est le plus grand nombre premier connu en juin 2011.
  1. Exprimer $log(N + 1)$ en fonction de $log(2)$.
  2. Déterminer à l’aide de la calculatrice, la partie entière de $log(N + 1)$.
  3. En déduire l’encadrement, $10^{24 862 047} < 2^{82 589 933} < 10^{24 862 048}$.
  4. Indiquer le nombre de chiffres de l’écriture décimale de $N$.

Code de déblocage de la correction :

Exercices

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $ln(2-x) + ln(x + 3) \geqslant ln(4)$.

Code de déblocage de la correction :

    Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par : $f(x)= ln(x)-x$.
  1. Calculer la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
  2. Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$.
  3. En déduire le signe de la fonction $f$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$.

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ln\left(1+xe^{-x}\right)$.
    On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~+\infty\right[$.
  1. Justifier que $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0$
  2. Justifier que pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 – x$.
  3. Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~+\infty\right[$.

Code de déblocage de la correction :

Partie A
    On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $f(x) = xln(x)$.
  1. Déterminer la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
  2. Etudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation sur $\left]0~;~+\infty\right[$.
Partie B
    Soit $g$ la fonction définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $g(x) = \dfrac{x^2}{2}ln(x) - \dfrac{x^2}{4}$.
    On suppose que $g$ est dérivable sur $\left]0~;~+\infty\right[$.
  1. Déterminer la limite de $g$ en $0$ et en $+\infty$.
  2. Démontrer que pour tout réel $x \in \left]0~;~+\infty\right[$, $g'(x) = f(x)$.
  3. En déduire le tableau de variation de $g$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$.

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{2}x^2+2x-2xln(x)+1$.
    On suppose que $f$ est dérivable sur $\left]0~;~+\infty\right[$.
  1. Déterminer la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
  2. Montrer que pour tout $x \in \left]0~;~+\infty\right[$, \[f'(x) = x^3-x-2ln(x).\]
  3. Montrer que pour tout $x \in \left]0~;~+\infty\right[$, \[f''(x) = \dfrac{(x - 1) \left(3x^2 + 3x + 2\right)}{x}.\].
  4. En déduire la convexité de la fonction de $f$.
    Préciser le(s) point(s) d'inflexion de la courbe représentative de $f$

Code de déblocage de la correction :

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par \[\varphi(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln x. \]
    1. Étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
    2. Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1~;~e]$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
    3. Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
  2. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\] On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
    1. Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$.
    2. Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
    3. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : \[0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}.\]
    4. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

Code de déblocage de la correction :

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $(1) \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=u_n-ln\left(u_n^2+1\right)\end{array} \right.$
Partie A
    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x-ln(x^2+1)$.
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=x$ .
  2. Étudier le sens de variation de $f$ sur $\left[0~;~1\right]$.
    En déduire que si $x \in \left[0~;~1\right]$ alors $f(x)\in \left[0~;~1\right]$
Partie B
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, $u_n \in \left[0~;~1\right]$.
  2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
  3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente. Déterminer sa limite.

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x-ln(x^2+1)$.
  1. calculer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$
    1. Montrer que pour tout $x \in \left]0~;~+\infty\right[$ :
      \[f(x)= x-2ln(x)-ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\].
    2. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
  3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Code de déblocage de la correction :

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x.\] Partie A : lectures graphiques
On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point A de coordonnées $(1~;~-1)$. Cette tangente passe également par le point B$(0~;~-4)$.

  1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
    Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?
Partie B : étude analytique
  1. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
  2. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
      Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    1. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$, \[f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}.\]
    1. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    2. Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
      En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    2. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie :
      $\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right).$

Code de déblocage de la correction :

Exercices d'approfondissement.

Le but de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions $f$ qui sont dérivables sur $\left]0~;~+\infty\right[$ et vérifiant :
\[\text{pour tous réels } a \text{ et } b \text{ strictements positifs }, f(ab) = f(a) + f(b).\]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ telle que, pour tous $a>0$ et $b>0$ : $f(ab) = f(a)+f(b)$.
    1. Montrer que f(1) = 0.
    2. Montrer que pour tout réel $x>0$, $f(\dfrac{1}{x})=-f(x)$.
    3. Montrer que pour tous réels $x>0$ et $y>0$, $f(\dfrac{x}{y})=f(x)-f(y)$.
    4. Montrer que pour tout entier naturel $n$, et pour tout $x>0$, $f(x^n)=nf(x)$.
    5. En déduire que pour tout entier relatif $n$, et pour tout $x>0$, $f(x^n)=nf(x)$.
  2. Soit $a>0$ fixé. On considère la fonction $g$, définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $g(x) = f(ax) - f(x)$.
    1. Montrer que $g$ est dérivable sur $\left]0~;~+\infty\right[$ et établir l'égalité $af'(ax) - f'(x) = 0$.
    2. En déduire que, pour tout $a>0$ : $f'(a) = \dfrac{f'(1)}{a}$.
    3. On pose que $f'(1) = k$.
      En déduire que, pour tout $x>0$, $f'(x) = \dfrac{k}{x}$.
  4. Soit $h$ la fonction définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ telle que pour tout $x>0$, $h'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $h(1)=1$.
    On dit que la fonction $h$ est la primitive de la fonction inverse sur l'intervalle $\left]0~;~+\infty\right[$.
    $h$ est une fonction bien définie et unique (voir le cours sur les primitives).
    Démontrer que toutes les fonctions $f$ vérifiant $f(ab) = f(a)+f(b)$ sont de la forme $k\times h$ ($k$ réel fixe).
  5. Étude de la réciproque
    Soit $a$ un réel strictement positif et $F$ la fonction définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $F(x) = h(ax)$.
    1. Démontrer que pour tout $x \in \left]0~;~+\infty\right[$, $F'(x) = \dfrac{1}{x}$
    2. En déduire qu'il existe un réel $c$ tel que, pour tout $x \in \left]0~;~+\infty\right[$, on ait $F(x) = h(x) + c$.
      Déterminer le réel $c$ en donnant à $x$ la valeur $1$.
    3. En déduire que la fonction $h$ vérifie :
      \[\text{pour tous réels } a \text{ et } b \text{ strictements positifs }, h(ab) = h(a) + h(b),\] et qu'il en est de même pour les fonctions $kh$, où $k$ est un réel quelconque.
      4. Les fonctions, non nulles, solutions du problème posé, sont les fonctions logarithmes.
      la fonction $h$ est appelée la fonction logarithme népérien et on la note ln.

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