Exemples

Calculer $\displaystyle\int_2^4 (x+1)\:\text{d}x$. module

Code de déblocage de la correction :

module

Donner un encadrement de $\displaystyle\int_0^4 f(x)\:\text{d}x$

Code de déblocage de la correction :

Déterminer le signe de l’intégrale $\displaystyle\int_{1}^{\frac{1}{2}}{ln{(x)}dx}$.

Code de déblocage de la correction :

  1. Donner sans faire de calcul le signe de $\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{{-x}^2}dx}$.
  2. Montrer que pour tout $x \in [0~;~1]$, $e^{-x}\leq e^{{-x}^2}\leq 1$.
  3. En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{{-x}^2}dx}$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur $[1~;~e]$ par : $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Code de déblocage de la correction :

Calculer $A = \displaystyle\int_{0}^{1}{xe^{-x}dx}$.

Code de déblocage de la correction :

Exercices

En divisant l’intervalle $[1 ; 6]$ en $5$ intervalles de même amplitude, encadrer $\displaystyle\int_{1}^{6}{ln{(}x)dx}$.

Code de déblocage de la correction :

Pour déterminer un encadrement de l’intégrale d’une fonction continue, croissante et positive sur $[a~;~b]$, on peut partager $[a~;~b]$ en $n$ intervalles de même amplitude : $h=\dfrac{b-a}{n}$.
On note $x_0=a$ et pour $k$ allant de $0$ à $n$ , $x_{k+1}=x_{k+h}$.
Sur chacun des intervalle $[x_k~;~x_{k+1}]$, l’aire sous la courbe $\mathscr{C}$ de $f$ est comprise entre l’aire de deux rectangles : l’un de hauteur $f(x_k)$ et d’aire $h\times f(x_k)$ et l’autre de hauteur $f(x_{k+1})$ et d’aire $h\times f(x_{k+1})$. 		module
  1. Que permet cet algorithme d’obtenir à la sortie, avec les variables $u$ et $v$ ?
  2. Que représente la valeur de $u$ ?
  3. Que représente la valeur de $v$ ?
  4. Traduire cet algorithme en langage Python et appliquer le programme obtenu à la fonction $ln$ pour $a = 1$ $b = 6$ et $n = 10$.
 module

Code de déblocage de la correction :

    Soit $f$ la fonction définie sur $[–2~;~5]$ par : si $x \in [-2~;~2[$ alors $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+2$, et si $x \in [2~;~5]$ alors $f(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3}$
  1. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[–2~;~5]$
  2. Déterminer à l’aide de considérations géométriques la valeur exacte de $\displaystyle\int_{-2}^{5}{f(x)dx}$

Code de déblocage de la correction :

    f est la fonction définie sur l’intervalle $I = \left[0~;~+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+6x}{{(x+3)}^2}$.
  1. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{x^2}{x+3}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
  2. Calculer $\displaystyle\int_{1}^{3}{f(x)\text{d}x}$
    3. .

Code de déblocage de la correction :

Code de déblocage de la correction :

    Calculer les intégrales suivantes :
  1. $\displaystyle\int_{0}^{1}{(2xe^{x^2+2}+x+1)\text{d}x}$
  2. $\displaystyle\int_{-2}^{0}{\frac{2x+1}{x^2+x+2}\text{d}x}$
  3. $\displaystyle\int_{0}^{3}{\frac{1}{{(x+1)}^2}\text{d}x}$
  4. $\displaystyle\int_{2}^{4}{\frac{2x+1}{{{(x}^2+x+2)}^2}\text{d}x}$
  5. $\displaystyle\int_{0}^{1}{(2x+1)(x^2+x+2)^2\text{d}x}$
  6. $\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+2}}\text{d}x}$

Code de déblocage de la correction :

  1. Donner un encadrement de la fonction $f$ définie sur $[0~;~\pi]$ par : $f(x) = \sqrt{1+(\cos(x))^2}$
  2. En déduire un encadrement de la valeur moyenne de $f$.

Code de déblocage de la correction :

    Soit $J=\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{1}{e^{2x}+1}\text{d}x}$. On ne peut pas calculer l’intégrale $J$ directement.
  1. Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\text{d}x}$ et $I+J$
  2. En déduire la valeur de $J$.

Code de déblocage de la correction :

.
Calculer $A_1 = \displaystyle\int_{0}^{1}{(2x+1)e^x~\mathrm{d}x}$ et $A_2 = \displaystyle\int_{1}^{e}{ln({x})~\mathrm{d}x}$

Code de déblocage de la correction :

Soit l’intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^{1} x^2e^{x}~\text{d}x$. A l’aide de deux intégrations par parties successives, calculer A.

Code de déblocage de la correction :

Soit l’intégrale $A = \displaystyle\int_{0}^{1} x^2e^{3x}~\text{d}x$. A l’aide de deux intégrations par parties successives, Calculer $A$.

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~+\infty[$ par $f(t) =tln(t)+1$.
  1. A l’aide d’une intégration par partie, exprimer en fonction du réel $x$, l’intégrale $\displaystyle\int_{1}^{x}{tln(t)\text{d}t$.
  2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $]0 ~;~+\infty[$ .

Code de déblocage de la correction :

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(t)\ =\ (t-1)e^{-t}+1. A l’aide d’une intégration par partie, exprimer en fonction du réel x, l’intégrale \int_{0}^{x}{(t-1)e^{-t}dt}. En déduire une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.
    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) =(t-1)e^{-t}+1$.
  1. A l’aide d’une intégration par partie, exprimer en fonction du réel $x$, l’intégrale $\displaystyle\int_{1}^{x}(t-1)e^{-t}\text{d}t$.
  2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Code de déblocage de la correction :

Soit l’intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} x^2cos(x)~\text{d}x$. A l’aide de deux intégrations par parties successives, calculer $A$.

Code de déblocage de la correction :

Soit l’intégrale $A = \displaystyle\int_{0}^{\pi}sin(x)e^x\text{ d}x$. A l’aide de deux intégrations par parties, Calculer $A$.

Code de déblocage de la correction :

On munit le plan d'un repère orthonormé. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : \[f_0(x) = e^{- x}\quad \text{et, pour } n \geqslant 1, \quad f_n(x) = x^ne^{-x}.\] Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Étude des fonctions $f_n$ pour $n \geqslant 1$
On considère un entier naturel $n \geqslant 1$.
    1. On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.
      Montrer que pour tout $x \geqslant 0$,
      \[f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}e^{-x}.\]
    2. Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous:
      module
  2. Justifier par le calcul que le point A$\left(1~;~e^{-1}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$.
Partie B : Étude des intégrales $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\text{d}x$ pour $n \geqslant 0$
Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_n$ sur [0~;1] et on considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d} x = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\,\text{d}x.\]
  1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_{10}$ et $\mathcal{C}_{100}$. module
    1. Donner une interprétation graphique de $I_n$.
    2. Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?
  2. Calculer $I_0$.
    1. Soit $n$ un entier naturel.
      Démontrer que pour tout $x \in [0~;~1]$,
      \[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.\]
    2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : \[0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.\]
  4. Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.
  5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on~a :
    \[I_{n+1} = (n + 1)I_n - \dfrac{1}{e}.\]
    1. Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.
    2. Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6. a.
    7. On donne ci-dessous le script de la fonction \texttt{mystere}, écrite en langage Python.
    On a importé la constante e.
    module
  7. Que renvoie $mystère(100)$ dans le contexte de l'exercice ?

Code de déblocage de la correction :

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a$ est strictement inférieur à $b$. Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a~;~b]$. On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a~;~b]$ le réel $\mu$ défini par : $\mu= \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{ d}x$.
La vitesse $V$ d’un point mobile $M$ est donnée, pour tout $t \in \left[0~;~+\infty\right[$, par : $V(t)=\dfrac{1}{4}t^2+t+1$.
Calculer la vitesse moyenne $V_m$ arrondi au centième de $M$ entre les instants $0$ et $5$.

Code de déblocage de la correction :

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[g(x) = \ln x - \dfrac{2}{x}\] On donne ci-dessous le tableau de variations de $g$.
    module
    Démontrer toutes les propriétés de la fonction $g$ regroupées dans ce tableau.
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{5 \ln x}{x}\]
    1. Montrer que $f\left(x_{0}\right) = \dfrac{10}{x_{0}^2}$ où $x_{0}$ est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus.
    2. Soit $a$ un réel. Pour $a > 1$, exprimer $\displaystyle\int_{1}^a f(t)\:\text{d}t$ en fonction de $a$.
  3. On a tracé dans le repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}\right)$ ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ notées respectivement $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$.
    On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), $P_{0}$ le point d'intersection de $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ et de l'axe des abscisses, $M_{0}$ le point de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ayant même abscisse que $P_{0}$ et $H_{0}$ le projeté orthogonal de $M_{0}$ sur l'axe des ordonnées.
    On nomme $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ le domaine du plan délimité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et les segments [I$P_{0}$] et [$P_{0}M_{0}$].
    On nomme $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ le domaine du plan délimité par le rectangle construit à partir de [OI] et [O$H_{0}$].
    Démontrer que les deux domaines $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ ont même aire, puis donner un encadrement d'amplitude 0,2 de cette aire.
module

Code de déblocage de la correction :

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leq b$. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a~;~b]$ telle que $f'$ soit continue sur $[a~;~b]$. On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}\right)$. La longueur $L$, en unité de longueur noté u.l., de l’arc de courbe défini par la courbe entre les points $A(a~;~f(a))$ et $B(b~;~f(b))$ est donnée par l’intégrale : $L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\text{ d}x$
La chaînette est une courbe observée lorsqu’on suspend une chaîne entre deux points. Elle admet, dans un repère orthonormé du plan, une équation de la forme $y = f(x)$, où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$.
  1. Pour $x \in \mathbb{R}$, calculer $f'(x)$
  2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} = f(x)$
  3. Calculer la longueur $L$ de la chaînette entre les points $A(-1~;~f(-1))$ et $B(1~;~f(1))$ et donner le résultat arrondi au centième
    4. .
module

Code de déblocage de la correction :

L’espace est muni d’un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j},~\overrightarrow{k}\right)$. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leq b$. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a~;~b]$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}\right)$. On note $\mathscr{D}_f$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses $\left(O~;~\overrightarrow{i}\right)$ et les droites d’équations $x = a$ et $x = b$ :
Alors le volume $V$ du solide de révolution engendré par la rotation de $\mathscr{D}_f$ autour de l’axe $\left(O~;~\overrightarrow{i}\right)$ est : $V=\displaystyle\int_a^b \pi\left(f(x)\right)^2\text{ d}x$. 		module module
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2ln(x)$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de la fonction $f$ dans plan muni du repère orthonormé normal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}\right)$.
On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des abscisses $\left(O~;~\overrightarrow{i}\right)$ de la région plane délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, des abscisses $\left(O~;~\overrightarrow{i}\right)$ et les droites d’équations $x = \dfrac{1}{e}$ et $x = 1$. On note $V$ une mesure, exprimée en unité de volume $u.v.$, du volume de ce solide et on admet que :
$V=\ \displaystyle\int_\frac{1}{e}^{1}{\pi\left(f{x})\right)^2\text{ d}x}$
  1. Montrer qu’une primitive de la fonction $x \mapsto x^4(ln(x))^2$ sur $]0~;~+\infty[$ est la fonction
    $F : x \mapsto \dfrac{1}{5}x^5(ln(x))^2 - \dfrac{2}{25}x^5ln(x) +\dfrac{2}{125}x^5$.
  2. En déduire que $V = \dfrac{\pi}{125}\left(2 - \dfrac{37}{e^5}\right)$.
 module

Code de déblocage de la correction :

Exercices d'approfondissement.

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