$(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n= e^n$.
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $e^n \geq n+1$.
2. En déduire que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer les limites des suites $(u_n)$ suivantes :
1. $u_n = n^2-3$.
2. $u_n = n^3+3n$.
3. $u_n = 2n^2+5\sqrt{n}+3$.
4. $u_n = -n^2-2n+1$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer les limites des suites $(u_n)$ suivantes :
1. $u_n = \sqrt{n}+\dfrac{1}{n}$.
2. $u_n = -3n^2+\dfrac{1}{n^3}$.
3. $u_n = \left(-5+\dfrac{2}{\sqrt{n}}\right)(n+2)$.
4. $u_n = \dfrac{2}{2-5n^2}$.
5. $u_n = \dfrac{5}{n^2+n+3}$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer les limites des suites $(u_n)$ suivantes :
1. $u_n = \dfrac{3-\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$.
2. $u_n = \dfrac{n^2}{-2+\dfrac{1}{n^2}}$.
3. $u_n = \dfrac{\dfrac{3}{n}-7}{-2+\dfrac{2}{n^3}}$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul :
1. $u_n= n-n^2$.
2. $u_n= 3n^2-4n+1$.
3. $u_n= n^3-5n^2+3\sqrt{n}$.
4. $u_n= -3n^2+5n-7$.
5. $u_n= \dfrac{4+n+n^2}{n}$.
6. $u_n= \dfrac{3n+1}{n^2+1}$.
7. $u_n= \dfrac{-3n^2+5n+1}{5n^2+2n}$.
8. $u_n= \dfrac{2\sqrt{n}-n}{\sqrt{n}+n}$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n= -5n^2+(-1)^n$.
1. Que vaut $(-1)^n$ suivant les valeurs de $n$.
2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq -5n^2+1$
1. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n= n+(-1)^n$.
1. Que vaut $(-1)^n$ suivant les valeurs de $n$.
2. Démontrer que pour totu entier naturel $n$, $u_n \geq n-1$
1. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n= n^2+cos(n)$.
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq n^2-1$
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n= \dfrac{sin(n)}{n^2}$.
1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul , $-\dfrac{1}{n^2} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n^2}$
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul, en utilisant les théorèmes de comparaison :
1. $u_n= n^2-cos(n)$.
2. $u_n= -n+sin(n)$.
3. $u_n= \dfrac{n}{1+cos(n)}$.
4. $u_n= \dfrac{n-cos(n)}{n^3+1}$.
5. $u_n= \dfrac{2n+(-1)^n}{n+1}$.
6. $u_n= \dfrac{-n-(-1)^n}{2n+(-1)^n}$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
1. $u_n= 3^n+(0,7)^n$.
2. $u_n= 4^n-5^n$.
3. $u_n= \left(\dfrac{5}{3}\right)^n+3$.
4. $u_n= 1+\dfrac{3^n}{7^n}$.
5. $u_n= \dfrac{3+4^n}{7^n}$.
6. $u_n= \dfrac{3^n+1}{4\times 3^n+2}$.

Code de déblocage de la correction :

1. Etudier la limite de la suite $(S_n)$ : $S_n=1+2+2^2+2^3+...+2^n$.
2. Etudier la limite de la suite $(S'_n)$ : $S'_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^n}$.
3. Etudier la limite de la suite $(S''_n)$ : $S''_n=1+x+x^2+x^3+...+x^n$, où, $x$ est un réel tel que $-1 < x < 1 $.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ esrt la suite définie par : $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+n$.
1. Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
2. Démontrer que la suite $(u_n)$ n’est pas majorée.
3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ est la suite définie par : $u_0=30$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,6u_n+20$.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\le u_{n+1}\le 50$.
2. En déduire que la suite (u_n) converge vers un réel $\ell$. Que peut-on dire de $\ell$ ?
3. Calculer la limite $\ell$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ est la suite définie par : $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+2$.
1. Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est minorée par $\frac{5}{2}$.
2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
4. Calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ est la suite définie par : $u_0=0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$.
1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ~;~ 1]$ par : $f(x)= x(2 - x )$.
   1. Etudier les variations de $f$ sur $[0 ~;~ 1]$
   2. En déduire que pour tout $x \in [0~;~1],~ f(x) \in [0~;~1]$
   3. On donne ci-contre la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ et la droite d'équation $y = x$ dans un repère orthonormal.
      Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
   4. Utiliser ce graphique pour conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1$
3. Montrer que la suite $(u_n )$ est convergente.
Calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à $12000$ individus en 2024. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les $60000$ individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de $5\,\%$ par an. L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2024 + n$.

1. Déterminer $v_0$ et $v_1$.
2. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$.
3. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
4. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ? Sinon proposer une fonction Python nommée exo17 permettant de déterminer à partir de quelle année ce ne sera plus le cas.

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.$
   1. Justifier que $g$ est croissante sur $[0~;~60]$.
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $g(x) = x$.
2. On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
   1. Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   4. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
   5. On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les $50000$ individus avec ce second modèle.
   Il utilise l'algorithme suivant :
   Recopier et compléter cet algorithme afin que la variable $n$ contienne après son exécution le plus petit entier $r$ tel que $u_r \geqslant 50$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ esrt la suite définie par : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{1+3u_n}$.
L'objectif de cet exercice est de calculer de deux manières différentes la limite de cette suite.
Partie A

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\left[\dfrac{1}{2} ~;~ 2\right]$ par : $f(x)= \dfrac{4x}{1+3x}$.
   1. Etudier les variations de $f$ sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~2\right]$
   2. En déduire que pour tout $x \in \left[\dfrac{1}{2}~;~2\right],~ f(x) \in \left[\dfrac{1}{2}~;~2\right]$
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2}\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 2$
3. Montrer que la suite $(u_n )$ est convergente
4. Calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B

1. Montrer, par récurrence, que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{4^n}{1+4^{n}}$
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ esrt la suite définie par : $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$.
L'objectif de cet exercice est de calculer de deux manières différentes la limite de cette suite.
Partie A

1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ~;~ 1]$ par : $f(x)= \dfrac{x}{x+8}$.
   1. Etudier les variations de $f$ sur $\left[0~;~1\right]$
   2. En déduire que pour tout $x \in \left[0~;~1\right],~ f(x) \in \left[0~;~1\right]$
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 1$
3. Montrer que la suite $(u_n )$ est convergente
Calculer la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B

1. Montrer, par récurrence, que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}$
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

$(u_n)$ esrt la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}$..
1. Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
2. Etablir que $\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$ pour tout entier naturel $k\geq 2$.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

Code de déblocage de la correction :