Déterminer les limites :
1. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$f_1(x) = x^2-3$.
2. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_2$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_2(x) = x^3+3x$.
3. en $+\infty$, de la fonction $f_3$ définie sur $\mathbb{R^{+}}$ par : $f_3(x) = 2x^2+5\sqrt{x}+3$.
4. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_4$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$f_4(x) = -x^2-2x+1$.

Déterminer les limites :
1. en $+\infty$ de la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R^{+*}}$ par : $f_1(x) = \sqrt{x}+\dfrac{1}{x}$.
2. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_2$ définie sur $\mathbb{R^{*}}$ par :$f_2(x) = -3x^2+\dfrac{1}{x^3}$.
3. en $+\infty$ de la fonction $f_3$ définie sur $\mathbb{R^{+*}}$ par : $f_3(x) = \left(-5+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)(x+2)$.
4. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_4$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_4(x) = \dfrac{2}{2+x^2}$.
5. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_5$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$f_5(x) = \dfrac{5}{x^2+x+3}$.

Déterminer les limites :
1. en $+\infty$, de la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R^+}$ par : $f_1(x) = \dfrac{3-\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$.
2. en $-\infty$ et $+\infty$, de la fonction $f_2$ définie sur $\mathbb{R}/ \{0~;~1\}$ par : $f_2(x) = \dfrac{x}{-1+\dfrac{1}{x}}$.
3. en $+\infty$, de la fonction $f_3$ est définie $\mathbb{R^*}$ par : $f_3(x) = \dfrac{\dfrac{3}{x}-5}{3+\dfrac{2}{x^2}}$.

Déterminer la limite :
1. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_1(x)= x-x^2$.
2. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_2$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_2(x)= 3x^2-4x+1$.
3. en $+\infty$, de la fonction $f_3$ est définie sur $\mathbb{R^+}$ par : $f_3(x)= x^3-5x^2+3\sqrt{x}$.
4. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_4$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_4(x)= -3x^2+5x-7$.
5. en $-\infty$, de la fonction $f_5$ définie sur $\mathbb{R^*}$ par : $f_5(x)= \dfrac{4+x+x^2}{x}$.
6. en $-\infty$, de la fonction $f_6$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_6(x)= \dfrac{3x+1}{x^2+1}$.
7. en $-\infty$ et en $+\infty$, de la fonction $f_7$ définie sur $\mathbb{R}/ \{-2~;~0\}$ par :$f_7(x)= \dfrac{-3x^2+5x+1}{x^2+2x}$.
8. en $+\infty$, de la fonction $f_8$ définie sur $\mathbb{R^{+*}}$ par : $f_8(x)= \dfrac{2\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}$.

Soit $f$ une fonction définie sur $]-\infty~;~3[\cup]3~;~+\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{x^2-x-6}{x-3}$.

Déterminer la limite de $f$ en $3$, $-\infty$ et en $+\infty$.

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}/ \{-1~;~2\}$ par : $f(x)= \dfrac{x^3-8}{x^2-x-2}$.

1. Factoriser $x^2-x-2$.
2. Sachant que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, simplifier $f(x)$.
3. En déduire la limite de $f$ en $2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}/ \{-1~;~1\}=]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~1[\cup]1~;~+\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{2x^2-12x-14}{x^2-1}$.

Soit $x \in ]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~1[\cup]1~;~+\infty[$.
1. Factoriser $2x^2-12x-14$.
2. Factoriser $x^2-1$.
3. Simplifier l'expression de $f(x)$, pour tout réel $x \in ]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~1[\cup]1~;~+\infty[$.
4. En déduire la limite de $f$ en $1^-$, $1^+$ et en $-1$.

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= x^3+ x + cos(x)$.
1. Démontrer que pour tout réel $x$, $f(x) \leq x^3+x+1$
2. En déduire la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
3. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

   Code de déblocage de la correction :

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R^*}$, par : $f(x)= \dfrac{sin(x)}{x^2}$.
1. Justifier que pour tout réel $x$ non nul , $-\dfrac{1}{x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x^2}$
2. En déduire la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

Code de déblocage de la correction :

Déterminer la limite de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, en utilisant les théorème de comparaison :
1. $f(x)= x^2-cos(x)$, en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. $f(x)= -x+sin(x)$, en $-\infty$ et en $+\infty$.
3. $f(x)= \dfrac{x}{2x+cos(x)}$, en $-\infty$.
4. $f(x)= \dfrac{x-cos(x)}{x^2+1}$, en $+\infty$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= e^x-x-1$.

1. Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
2. En déduire le signe de la fonction $f$.
3. Montrer que pour tout réerl $x$, $e^x\geq x+1$
4. En déduire la limite $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}e^x$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $g(x)= e^x-\dfrac{x^2}{2}$.

1. Etudier le sens de variation de la fonction $g$.
2. En déduire le signe de la fonction $g$.
3. Montrer que pour tout réerl $x$, $\dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{2}$
4. En déduire la limite $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}$.

On donne le tableau de variations, d'une fonction $f$, suivant :

1. 1. Donner les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   2. En déduire les limites de la fonction $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   3. Interpréter graphiquement ces résultats.
2. 1. Déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
   2. En déduire la limite de $g$ en $2$ à gauche et à droite.
   3. Interpréter graphiquement ces résultats.

$f$ est une fonction telle que $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty$. Dans un repère orthonormé d'origine le point $O$, on note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$. On se propose d'étudier le comportement de $f(x)$ et donc de $\mathscr{C}_f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Ce comportement dépend de $\dfrac{f(x)}{x}$ qui représente le coefficient directeur de la droite $(OM)$ où $M$ est le point de la courbe $\mathscr{C}_f$ de coordonnées $(x~;~f(x))$.

on dit que la courbe $\mathscr{C}_f$ de $f$ admet en $+\infty$ une asymptote oblique d'équation $y=ax+b$, lorsque $\lim\limits_{x \to +\infty}[f(x) - (ax+b)] = 0$ où $a$ et $b$ sont des réels avec $a\ne 0$.

1. $f$ est la fonction définie sur $]-\infty~;~3[\cup]3~;~+\infty[$ par : $f(x)= 3x-2+\dfrac{1}{x-3}$
   1. Afficher la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ à l'écran de la calculatrice, puis conjecturer le comportement de la courbe en $+\infty$
   2. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $x \longmapsto f(x)-(3x-2)$
   3. En ddéduire l'équation d'une asymptote oblique $d$ à $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$.
   4. Démontrer que la droite $d$ est aussi une asymptote oblique $d$ à $\mathscr{C}_f$ en $-\infty$.
   5. Etudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $d$.
2. Dans un repère, la droite $\Delta$ d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ d'une fonction $g$ en $+\infty$.
   1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{g(x)}{x} = a$
   2. Démontrer que $\lim\limits_{x \to +\infty}(g(x)-ax) = b$
3. $h$ est la fonction définie sur $]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~+\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{2x^2+3x+1}{x+1}$.
   1. Etudier la limite de la fonction $x \longmapsto \dfrac{h(x)}{x}$
   2. En déduire l'équation d'une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}_h$ de $h$ en $+\infty$.
   3. Démontrer que cette droite est aussi une asymptote oblique à $\mathscr{C}_h$ en $-\infty$.