On considère trois urnes. La première contient une boule rouge et trois vertes, la deuxième une bleue et deux rouges et la troisième deux rouges, une verte et une bleue. On tire au hasard une boule de l’urne 1 et on note sa couleur, puis on tire au hasard une boule de l’urne 2 et on note sa couleur, et enfin une boule de l’urne 3 et on note sa couleur (R : rouge, B : bleu, V : vert).
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Déterminer la loi de probabilité sur l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire.
3. On gagne à ce jeu lorsqu’on tire au moins deux boules rouges. Calculer la probabilité de gagner une partie.

Code de déblocage de la correction :

Sarah a remarqué que quand un client entre dans sa librairie, la probabilité qu’il achète un livre est 0,67. On admet que les achats des clients sont indépendants les uns des autres. Quatre personnes entrent de façon successive dans la librairie. On s’intéresse au fait qu’elles achètent un livre ou non.
1. Justifier que l’on peut associer la situation de l’énoncé à un schéma de Bernoulli dont on précisera n, le nombre de répétitions, et p, la probabilité d’un succès.
2. Représenter ce schéma de Bernoulli par un arbre.
3. Calculer la probabilité que deux des quatre clients achètent un livre.

Code de déblocage de la correction :

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n= 50$ et $p = 0,23$. Calculer :
1. $P(X < 12)$
2. $P(X \geq 4)$
3. $P(5 < X \le 8)$

Code de déblocage de la correction :

Dans un examen QCM a huit questions avec quatre réponses proposées dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard et ses réponses sont indépendantes les unes des autres. La variable aléatoire X compte le nombre total de bonnes réponses données par l’élève. On arrondira les résultats au millième.
1. Justifier que la situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer P(X = 4) et interpréter le résultat.
3. Calculer la probabilité d’avoir :
   1. au plus cinq bonnes réponses correctes.
   2. entre deux et cinq bonnes réponses correctes.

Code de déblocage de la correction :

Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : D’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée. Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :

• $92 \%$ des jouets sont sans défaut de finition ;
• Parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, $95 \%$ réussissent le test de solidité ;
• $2 \%$ des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

• $F$ l’événement : « le jouet est sans défaut de finition » ;
• $S$ l’événement : « le jouet réussit le teste de solidité ».
• Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation.
  1. Donner $P(F)$, $P_F(S)$ et $P(\overline{F}\cap \overline{S})$ .
  2. Démontrer que $P_{\overline{F}}(\overline{S})=\dfrac{1}{4}$.
  3. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.
• Calcul de probabilités.
  1. Démontrer que $p(S) = 0,934$.
  2. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième).
• Etude d’une variable aléatoire
  On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de $10$ jouets.
  On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise.
  Calculer la probabilité qu’au moins $8$ jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité.

Code de déblocage de la correction :

Un réparateur de vélos a acheté $30\,\%$ de son stock de pneus à un premier fournisseur, $40\,\%$ à un deuxième et le reste à un troisième. Le premier fournisseur produit $80\,\%$ de pneus sans défaut, le deuxième $95\,\%$ et le troisième $85\,\%$.

1. Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
   1. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à $0,875$.
   2. Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$.
2. Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.
   On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pneus présentant un défaut.
   1. Justifier que la situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$.

Code de déblocage de la correction :

Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts.

1. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes.
   On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée.
   On note $A$ l'évènement "le sac présente le défaut $a$" et $B$ l'évènement "le sac présente le défaut $b$". Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ;
   on suppose que ces deux évènements sont indépendants.
   
   1. Calculer la probabilité de l'évènement $C$ "le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$".
   2. Calculer la probabilité de l'évènement $D$ "le sac est défectueux".
   3. Calculer la probabilité de l'évènement $E$ "le sac ne présente aucun défaut".
   4. Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ?
2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$.
   On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux.
   1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Quelle est la probabilité de l'évènement "au moins un sac est défectueux" ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.
   3. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
      Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.

Code de déblocage de la correction :

On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites A, B et C une seule d'entre elles étant exacte.
1. Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.
   Par exemple, le mot « BBAAC » signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions, A aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question.
   1. Combien y-a-t-il de mots-réponses possibles à ce questionnaire ?
   2. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
      Calculer la probabilité des évènements suivants : E : "le candidat a exactement une réponse exacte", F : "le candidat n'a aucune réponse exacte" et G : "le mot-réponse du candidat est un palindrome" (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, BACAB est un palindrome).
2. Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
   On désigne par X le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
   1. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n = 28$ et $p=\dfrac{32}{243}$.
   2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$ près, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.

Code de déblocage de la correction :

Les données publiées le $1^\text{er }$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• $22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
• $8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
• $1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.
Partie A
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :

• $N$ l'évènement "le véhicule est neuf";
• $R$ l'évènement "le véhicule est hybride rechargeable";

$\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré
2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \np{0,0283}.
4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Partie B
Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
3. Déterminer la probabilité $p(X \geq 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
2. On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant 0,9999$.

Code de déblocage de la correction :

Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu'au 11 mai $2020$, $5,7\,\%$ des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Un lien sur la Source
On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.
Partie A

1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
   On note $I$ l'évènement : "l'adulte a déjà été infecté par la COVID 19"
   Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?
2. On prélève un échantillon de $100$ personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
   On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
   
   1. Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
   2. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
   3. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon ?
      On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
   4. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins $2$ personnes infectées dans l'échantillon ?
      On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
   5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) > 0,9$.
      Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B
Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l'infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.
Deux paramètres permettent de caractériser ce test: sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai positif).
La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai négatif).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes:

• Sa sensibilité est de 0,8.
• Sa spécificité est de 0,99.
On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $T$ l'évènement "le test réalisé est positif".
1. 
   

   Compléter l'arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé :

2. Montrer que $p(T) = 0,05503$.
3. Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?
   On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
Partie C
On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité $0,8$ et de spécificité $0,99$. Dans ce groupe la proportion d'individus ayant un test positif est de $29,44\,\%$. On choisit au hasard un individu de ce groupe; quelle est la probabilité qu'il ait été infecté ?

Code de déblocage de la correction :

Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans $70\,\%$ des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de $0,2$.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les évènements suivants:

• $G_n$ : "Léa gagne la $n$-ième partie de la journée";
• $D_n$ : "Léa perd la $n$-ième partie de la journée".

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$.
On a donc $g_1 = 0,5$.

1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p_{G_1}\left(D_2\right)$ ?
2. 
   

   Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :

3. Calculer $g_2$.
4. Soit $n$ un entier naturel non nul.

   1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième parties de la journée.

   2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2.$
5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n = g_n - 0,4$.
   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
      On précisera son premier terme et sa raison.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4.$
6. Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$.
7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $\left(g_n\right)$.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $g_n - 0,4 \leqslant 0,001$.

9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous inférieurs ou égaux à $0,4 + \epsilon$, où $\epsilon$ est un nombre réel strictement positif.

Code de déblocage de la correction :

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher.
$U_1$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ boules noires.
$U_2$ contient $2$ boules blanches et une boule noire.
On tire une boule au hasard dans $U_1$ et on la place dans $U_2$. On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_2$. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve. On note $B_1$ (respectivement $N_1$) l’événement "on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne $U_1$". On note $B_2$ (respectivement $N_2$) l’événement "on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne $U_2$".

Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbres ci-contre : Montrer que la probabilité de l’événement B2 est égale à $\dfrac{3k+6}{4k+12}$.

1. On suppose que $k = 12$. On répète $n$ fois successivement et de façon indépendante cette épreuve.
   Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement $B_2$ soit supérieure ou égale à $0,99$.