Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules bleues et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. Le joueur mise 4 €, puis il tire une boule au hasard. Si la boule est bleue alors il gagne 3 €, si elle est verte il gagne 11 € et si elle est blanche, il ne gagne rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur à l’issue d’un tirage.

1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$
2. Définir les événement $\{X=-4\}$, et $\{X<0\}$
3. Donner une fonction en Python simulant la variable aléatoire $X$.

Code de déblocage de la correction :

Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules bleues et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. Le joueur mise 4 €, puis il tire une boule au hasard. Si la boule est bleue alors il gagne 3 €, si elle est verte il gagne 11 € et si elle est blanche, il ne gagne rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur à l’issue d’un tirage. Ci-contre une fonction en Python simulant la variable aléatoire $X$. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Code de déblocage de la correction :

Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules bleues et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. Le joueur mise 4 €, puis il tire une boule au hasard. Si la boule est bleue alors il gagne 3 €, si elle est verte il gagne 11 € et si elle est blanche, il ne gagne rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur à l’issue d’un tirage. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.

Code de déblocage de la correction :

Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules bleues et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. Le joueur mise 4 €, puis il tire une boule au hasard. Si la boule est bleue alors il gagne 3 €, si elle est verte il gagne 11 € et si elle est blanche, il ne gagne rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur à l’issue d’un tirage. Déterminer la variance et l'écart-type de la variable aléatoire $X$.

Code de déblocage de la correction :

Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules bleues et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. Le joueur mise 4 €, puis il tire une boule au hasard. Si la boule est bleue alors il gagne 3 €, si elle est verte il gagne 11 € et si elle est blanche, il ne gagne rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur à l’issue d’un tirage. Calculer la variance de la variable aléatoire $X$ en utilisant la formule de König-Huygens.

Code de déblocage de la correction :

Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules bleues et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. Le joueur mise 4 €, puis il tire une boule au hasard. Si la boule est bleue alors il gagne 3 €, si elle est verte il gagne 11 € et si elle est blanche, il ne gagne rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur à l’issue d’un tirage. Calculer la variance de la variable aléatoire $X$ en utilisant la formule de König-Huygens.

Code de déblocage de la correction :

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,6$. Soit $Y=3X-2$. Calculer l’espérance et la variance des variables aléatoires $X$ et $Y$.

Code de déblocage de la correction :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,6 et Y une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7.

1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X+Y$ ?
2. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X+Y$.

Code de déblocage de la correction :

Elias prend le même bus cinq jours par semaine. On admet que la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de retards suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(5~;~0,05\right)$. En répétant cette expérience pendant 6 semaines.
Que peut-on dire de la liste $\left(X_1 ~;~X_2~;~X_3~;~X_4~;~X_5~;~X_6\right)$ ? Justifier.

Code de déblocage de la correction :

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pot de confiture issue d’une chaîne de production, associe sa masse en grammes. On note $X_k$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $5$ pots de confiture, associe la masse du kème pot.

Les variables aléatoires X_1 ; X_2 ; X_3 ; X_4 et X_5 sont indépendantes et suivent la même loi que X.

1. Que peut-on dire de la liste $\left(X_1 ~;~X_2~;~X_3~;~X_4~;~X_5~\right)$ ? Justifier.
2. Que représente la variable aléatoire somme $S_n$ définie par : $S_n= X_1+X_2+X_3+X_4+X_5$ ?
3. Que représente la variable aléatoire moyenne $M_n$ définie par : $M_n= \dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}{5}$ ?

Code de déblocage de la correction :

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pot de confiture issue d’une chaîne de production, associe sa masse en grammes. On note $X_k$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $5$ pots de confiture, associe la masse du kème pot.

Les variables aléatoires X_1 ; X_2 ; X_3 ; X_4 et X_5 sont indépendantes et suivent la même loi que X.

La variable aléatoire somme $S_5$ définie par : $S_5= X_1+X_2+X_3+X_4+X_5$ associe à chaque lot de 5 pots sa masse en grammes.

La variable aléatoire moyenne $M_5$ définie par : $M_5= \dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}{5}$ associe à chaque lot de $5$ pots la masse moyenne d’un pot.

1. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_5$ en foncrtion l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$
2. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $M_5$ en foncrtion l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$

Code de déblocage de la correction :

Soit X une variable aléatoire d’espérance $E(X)=\mu$ et d’écart-type $\sigma$.

1. Donner une majoration de la probabilité que l’écart de $X$ à $\mu$ soit supérieur ou égal à $2\sigma$.
2. Donner une majoration de la probabilité que l’écart de $X$ à $\mu$ soit supérieur ou égal à $4\sigma$.

Code de déblocage de la correction :