On se place dans un repère $(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$, On donne les points $A(1~;~-3~;~1)$ et $B(-1~;~1~;~4)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
2. Les points $C(-3~;~5~;~7)$ et $D(2~;~-5~;~2)$ appartiennent-ils à la droite $(AB)$ ? Justifier.

On se place dans un repère $(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$, On donne les points $A(4~;~-3~;~1)$ et $B(0~;~-5~;~4)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par le point $C(3~;~2~;~-1)$ et parallèle à la droite $(AB)$.
2. Soit $E$ un point de la droite $d$ d'abscisse $2$. Déterminer les coordonnées du point $E$.

Code de déblocage de la correction :

On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de représentations paramétriques respectives :
$\left\{\begin{array}{l c r} x = 2-6t\\\ y = 4 +4t\\\ z = -1 + 8t \end{array}\right.$, $ t \in \mathbb{R} \qquad$ et $ \qquad \left\{\begin{array}{l c r} x = -1+3k\\\ y = 2 - 2k\\\ z = -1 -4k \end{array}\right.$, $\quad k \in \mathbb{R}$.
1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de chacune des droites.
2. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

On se place dans un repère $(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$, $d$ est la droite passant par les points $A(-1~;~0~;~1)$ et $B(-5~;~-2~;~7)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de $d$.
2. Quelle est l’intersection de la droite d et du plan $\mathcal{P}=(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j})$ ?

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $(O~;~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$.
On note $d$ la droite passant par $A(1~;~-2~;~-1)$ et $B(3~;~-5~;~-2)$.
1. Démontrer qu'une représentation paramétrique de $d$ est : $\left\{\begin{array}{l c r} x = 1+2t\\\ y = -2-3t\\\ z = -1-t \end{array}\right.$, $ t \in \mathbb{R} \qquad$
2. $d'$ est la droite de représentation paramétrique : $ \qquad \left\{\begin{array}{l c r} x = 2-t'\\\ y = 1+2t'\\\ z = t' \end{array}\right.$, $ k \in \mathbb{R}$.
   Montrer que les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.
3. On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point C(0 ; –3 ; 0) et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}(1~;~-4~;~0)$ et $\overrightarrow{v}(0~;~-5~;~1)$.
   Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $d$.

Code de déblocage de la correction :

Deux cubes d'arête 1 sont disposés comme l'indique la figure ci-contre. L'espace est rapporté au repère orthonormé $(O~;~\overrightarrow{OA}~,~\overrightarrow{OJ}~,~\overrightarrow{OG})$.

Pour chaque question, une réponse est exacte. Identifez-la et justifiez vos réponses.
1. Le triangle GIB est :
   a) $ \text{rectangle} \qquad \qquad $ b) $ \text{équilatéral} \qquad \qquad $ c) $ \text{isocèle} \qquad \qquad $.
2. Le point $M$ tel que : $2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ est le point :
   a) $ K \qquad \qquad $ b) $ I \qquad \qquad $ c) $ J \qquad \qquad $
3. Une représentation paramétrique de la droite $(KE)$ est :
   a) $\left\{\begin{array}{l c r} x = t\\\ y = 2+t\\\ z = t \end{array}\right.$, $\quad t \in \mathbb{R} \qquad$ b) $\left\{\begin{array}{l c r} x = 3+4t\\\ y = t\\\ z = 4t \end{array}\right.$, $\quad t \in \mathbb{R} \qquad$ c) $\left\{\begin{array}{l c r} x = 1-t\\\ y = 1+t\\\ z = 1-t \end{array}\right.$, $\quad t \in \mathbb{R}$
4. Le volume du tétraèdre $DACH$ est :
   a) $ \dfrac{1}{2} \qquad \qquad $ b) $ \dfrac{1}{6} \qquad \qquad $ c) $ \dfrac{1}{3} \qquad \qquad $
5. La distance du point $C$ au plan $(ADH)$ est :
   a) $ 2 \qquad \qquad $ b) $ \dfrac{1}{2} \qquad \qquad $ c) $ \sqrt{2} \qquad \qquad $

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(0~;~1~;~2)$, $\overrightarrow{v}(1~;~1~;~30)$ et $\overrightarrow{w}(-1~;~3~;~1)$.

1. Démontrer que $\left(\overrightarrow{u}~,~\overrightarrow{v}~,~\overrightarrow{w}\right)$ forment une base de l'espace.
2. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{t}(5~;~-4~;~5)$ dans cette nouvelle base.

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace.

1. Soit $M$ un point quelconque de l'espace.
   Montrer que le vecteur $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ est indépendant du point M.
2. On nomme $G$ le point défini par : $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$
   1. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.
   2. Déterminer l'expression du vecteur $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{MG}$.

Soit $t$ un réel.

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace et soient $a$, $b$ et $c$ trois réels fixes.
Quel que soit le point $M$ de l'espace, le vecteur $a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}$ ne dépend que de $M$ puisque les autres données sont fixes. On note $\overrightarrow{f(M)}$ ce vecteur.

1. 1. Jusitifier que $\overrightarrow{f(A)} = b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}$
   2. Soit $N$ un point quelconque de l'espace.
      Donner l'expression du vecteur $\overrightarrow{f(N)}$.
   3. Montrer que $\overrightarrow{f(M)}-\overrightarrow{f(N)}=(a+b+c)\overrightarrow{MN}$.
2. Dans cette question on suppose que la somme $a+b+c$ est nulle.
   Jusitifier que $\overrightarrow{f(M)}=\overrightarrow{f(A)}$ pour tout point $M$ de l'espace.
3. Dans cette question on suppose que la somme $a+b+c$ n'est pas nulle et on pose $s=a+b+c$.
   
   1. Montrer qu'il existe un unique point $G$ tel que $\overrightarrow{f(G)}=\overrightarrow{0}$.
   2. En déduire que pour tout point $M$ de l'espace, $\overrightarrow{f(M)}=s\overrightarrow{MG}$.