Raisonnement par récurrence

Exemples

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=3u_n+2\end{array} \right.$
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=3^n-1$.
Dans cet exemple, pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $"u_n = 3^n-1"$ et lit $P(k)$ est la propriété au rang $k$.
nous allons utiliser le raisonnement par récurrence pour montrer que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Étape 1 : Initialisation
Dans cette étape, on vérifie que la propriété est vraie au premier rang, qui est dans cet exemple, $0$.
Or $u_0=0$ et $3^0-1 = 1 - 1 = 0$, donc $u_0 = 3^0-1$ et la propriété $P(0)$ est vraie.

L'initialisation est essentielle. Certaines propriétés peuvent être héréditaires sans qu'elles ne soient vraies pour tout entier naturel $n$.
Voir l'activité préparatoire corrigé en classe.

Étape 2 : Hérédité
Soit $k \in \mathbb{N}$, on suppose que la propriété $P(k)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_k=3^k-1$. (l'hypothèse $"u_k=3^k-1"$ est appelé l'hypothèse de récurrence).
On démontre que la propriété $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_{k+1}=3^{k+1}-1$.

Pour passer du rang $k$ au rang $k+1$, on utilise la définition de la suite $(u_n)$ et l'hypothèse de récurrence.

Or, $u_{k+1}=3u_k+2$. donc, d'après l'hypothèse de récurrence, $u_{k+1}=3(3^k-1)+2 = 3\times 3^k - 3\times 1 + 2 = 3^{k+1} - 3 +2 = 3^{k+1} - 1$.
Ainsi, la propriété $P(k+1)$ est vraie.

Étape 3 : Conclusion :
L'initialisation et l'hérédité sont vérifiées, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n-1$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=7 \\ u_{n+1}=-3u_n+8\end{array} \right.$
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=5\times (-3)^n+2$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=75 \\ u_{n+1}=0,6u_n+50\end{array} \right.$
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant 125$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+...+\dfrac{1}{n\times (n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$

Exercices

Soit $a$ un réel positif, pour tout entier naturel $n$, l'inégalité de Bernoulli est : $(1+a)^n \geqslant 1 + na$
Démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli.

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=3u_n+2\end{array} \right.$
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N^*}$, $u_n=4\times 3^{n-1}-1$

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}\end{array} \right.$
Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0\leqslant u_n\leqslant 3$

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 10$ : $2^n \geqslant 100n$

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\left\{ \begin{array}{l} u_1=\dfrac{3}{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{nu_n+1}{2(n+1)}\end{array} \right.$
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N^*}$, $u_n=\dfrac{1+(0,5)^n}{n}$

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.

la suite $(u_n)$ est minorée par $2$.
la suite $(u_n)$ est décroissante.

Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N^*}$, $1\times 2+2\times 3+3\times 4+...+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $u_{n}=u_{n-1}+\dfrac{n}{2^n}$.

Démontrer que par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=2-\dfrac{n+2}{2^n}$.
En déduire que la suite $u_n$ est majorée.
Démontrer que par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $n+1\leqslant 2^n$.
La suite $(u_n)$ est-elle minorée ? Justifier.

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1,8$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2}{3-u_n}$.

Démontrer que par récurrence quela suite $(u_n)$ est bornée par $1$ et $2$.
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~3[$ par : $f(x)=\dfrac{2}{3-x}$.
1. Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~3[$.
2. Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante en utilisant le sens de variation de la fonction $f$.
Code de déblocage de la correction :

Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N^*}$, $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+n+1$.
Démontrer que par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+1$

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\ \le u_n\le u_{n+1}\le 2$.
En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$

Exercices d'approfondissement.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}$ et $u_0=0$.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N^*}$, $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $(n+1)u_{n+1}=(n+2)u_n+1$ et $u_0=1$.

Compléter le tableau suivant :

Valeur de $n$	1	2	3	4	5
Valeur de $u_n$	$\qquad$	$\qquad$	$\qquad$	$\qquad$	$\qquad$
Valeur de $u_n-u_{n-1}$	$\qquad$	$\qquad$	$\qquad$	$\qquad$	$\qquad$

Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats du tableau ?

Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison 2.

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