Exemples

Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~;2]$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{l c r} e^{x-1} \text{ si } x \in [-1~;~;1[\\\ 2-x \text{ si } x \in [1~;~;2] \end{array}\right.$

$f$ est-elle continue en $1$ ? Justifier.

Code de déblocage de la correction :

t
On note $E$ la fonction partie entière, $E(x)$ est l’unique entier relatif $n$ tel que $n \leq x < n+1$. Donc $E(x)$ est égale au plus grand entier relatif $n$ inférieur ou égal à $x$. Ainsi, $E(2)=2$, $E(-2,5)=-3$ car $-3\leq -2,5<-2$ et $E(2,5)=2$ car $2\leq 2,5<3$.
$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x<2}} E(x)=1$ et $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} E(x)=2=E(2)$, donc la fonction partie entière $E$ n’est pas continue en $2$.
Montrer que la fonction partie entière $E$ n'est pas continue en tout entier relatif $n$.

Code de déblocage de la correction :

Montrer que la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$.

Code de déblocage de la correction :

Soient $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~ 1[\cup ]1~ ;~+\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{2x^2-3}{x-1}$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)= e^{3x+2}$.
Montrer que les fonction $f$ et $g$ sont continues sur leurs domaines de définition.

Code de déblocage de la correction :

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(2-x)$.
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
Dans l'exercice 16 du chapitre : "Limites des suites", nous avons démontré que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée, elle est donc convergente vers un réel $\ell$.
Déterminer la valeur de cette limite. module

Code de déblocage de la correction :

$f$ est la fonction définie sur $[-4~;~7]$ par $f(x)=0,5x^3-2,25x^2-6x+20$.
Montrer que l'équation $f(x)=10$ a au moins une solution sur l'intervalle $[-4~;~7]$.

Code de déblocage de la correction :

$f$ est la fonction définie sur $[-4~;~7]$ par $f(x)=0,5x^3-2,25x^2-6x+20$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ a au moins une solution sur l'intervalle $[-4~;~7]$.

Code de déblocage de la correction :

Exercices

    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{l c r} e^x+1 \text{ si } x \leq 0\\\ ax+2 \text{ si } x\in ]0~;~;2[ \text{ où } a \text{ est un nombre réel}\\\ x^2-4x+1 \text{ si } x \geq 2 \end{array}\right.$.
  1. Etudier la continuité de $f$ en $0$.
  2. Déterminer le nombre réel $a$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}$
S'aider d'un graphique pour visualiser les différents "saut".

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x}- x-2$.
    1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    2. Déterminer les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
    1. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$, ($\alpha < \beta$), sur $\mathbb{R}$.
    2. Vérifier que $\beta \in [1~;~2]$ puis déterminer par balayage d’une calculatrice un encadrement de $\beta$ au dixième.
    3. En déduire le signe de la fonction sur $\mathbb{R}$.

Code de déblocage de la correction :

    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3}{2}x^2+4x$.
    On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~,\vec{j})$.
  1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ et la fonction dérivée de la fonction $f'$ appelé dérivée seconde de $f$ et on la note $f''$.
    1. Etudier les variaritions de la fonction $f'$ et dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}$.
    2. Démontrer que l’équation $f'(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
    3. A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de$\alpha$.
    1. Déterminer le signe de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$
    2. Dresser son tableau de variation de la fonction de $f$ sur $\mathbb{R}$
    3. Explique pourquoi $f(\alpha) = \dfrac{3}{4}\alpha(4-\alpha)$.
    4. Déterminer le nombre de racines de la fonction polynôme $f$.

Code de déblocage de la correction :

Exercices d'approfondissement.

    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{l c r} x^2-3x+1 \text{ si } x < 2\\\ -2x^2+9x-11 \text{ si } x \geq 2 \end{array}\right.$.
  1. Montrer que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
  2. Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
S'aider d'un graphique pour visualiser.

L'objectif de cet exercice est de déterminer les valeurs des paramètres de $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction $f$ définie ci-dessous soit continue sur $\mathbb{R}$.

    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{l c r} -3x+1 \text{ si } x \leq 0\\\ ax^2+bx+c \text{ si } 0< x < 6\\\ 3x-17 \text{ si } x \geq 6 \end{array}\right.$.

    On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~,\vec{j})$.

  1. Déterminer la valeur de $c$ pour que $f$ soit continue en 0.
  2. On suppose que $f$ est continue en $0$, déterminer la valeur de $b$ pour que $f$ soit dérivable en $0$.
  3. On suppose que $f$ est continue et dérivable en $0$, déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en $6$.
  4. On suppose que $f$ est continue en $0$ et en $6$ et est dérivable en $0$, montrer que $f$ est dérivable en $6$.
  5. En déduire les valeurs de $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction $f$ soit continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.
 module
S'aider d'un graphique pour visualiser.
Le service informatique d’une entreprise a modélisé le coût unitaire (en centimes d’euros) d’une connexion, lorsque son réseau gère simultanément $x$ centaines de connexions par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0~;~100]$ par $f(x) = \dfrac{e^{2x}+3}{6(e^x-1)}$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O~;\overrightarrow{~i}~,~\overrightarrow{j}\right)$ dont les unités graphiques sont 3 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire $g$
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~100]$ par $g(x) = e^{2x} – 2e^{x} – 3$.
  1. Déterminer $g'(x)$ et étudier son signe sur l’intervalle $]0~;~100]$.
  2. En déduire le tableau de variation de $g$ sur l’intervalle $]0~;~100]$.
    1. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0~;~100]$.
    2. Donner une valeur de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    3. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ sur l’intervalle $]0~;~100]$.
Partie B : Etude de la fonction $f$
  1. Montrer que $f '(x) = \dfrac{e^{x}g(x)}{6(e^x-1)^2}$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $]0~;~100]$.
  2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au centième)
    3. .
    $x$ 0,5 1 $\alpha$ 2 3 4
    $f(x)$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$
  3. Tracer la courbe ($\mathscr{C}$ dans le repère $\left(O~;\overrightarrow{~i}~,~\overrightarrow{j}\right)$.
    4. module
  4. Pour combien de connexions simultanées, le coût unitaire de connexion est-il optimisé ? (On donnera le résultat à une unité près)

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