Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard dans [0 ; 1] deux nombres \( a \text{ et } b \) et à placer sur une droite graduée les points \( A \text{ et } B \) d’abscisses \( a \text{ et } b \).
On s’intéresse à la réalisation de l’événement E : « La longueur AB est supérieur ou égale à 0,5 »
Simulation de l’expérience :
A l’aide de la console de Python et de la fonction random() du module random, procéder au tirage de \( a \text{ et } b \), puis calculer l’écart positif d entre \( a \text{ et } b \).
Expliquer ce que l’on vient de simuler.
Répéter 4 fois cette simulation et observer si l’événement E est réalisé.
Que diriez-vous, sans calcul, de la probabilité p de l’événement E : p = 0,5 ou p < 0,5 ou p > 0,5 ?
Compléter les cinq lignes du script suivant afin d’obtenir le graphique en dessous :
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from random import *
def abs(x):
if x >=0:return x
else:return -x
def frequenceE(nb_tirages) :
plt.axis([0,nb_tirages,0,1])
plt.grid(True)
plt.xlabel('Nombre de tirages')
plt.ylabel('Frequence (bleue)' )
plt.plot([0,nb_tirages],[0.25,0.25],'m-')
realisationE = 0
frequence = 0
for n in range(1,nb_tirages+1):
# à compléter
# à compléter
# à compléter
# à compléter
# à compléter
plt.plot(n,frequence,'b.')
plt.show()
frequenceE(1000)
Sur le graphique ci-dessus est représentée l’évolution de la fréquence de l’événement E lors de la répétition de l’expérience 1000 fois.
Vers quelle valeur tend à se stabiliser cette fréquence ?
Comparer avec la réponse du 1.c.
.
Une proposition de réponse :
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from random import *
def abs(x):
if x >=0:return x
else:return -x
def frequenceE(nb_tirages) :
plt.axis([0,nb_tirages,0,1])
plt.grid(True)
plt.xlabel('Nombre de tirages')
plt.ylabel('Frequence (bleue)' )
plt.plot([0,nb_tirages],[0.25,0.25],'m-')
realisationE = 0
frequence = 0
for n in range(1,nb_tirages+1):
a = random()
b = random()
if abs(a-b)>0.5:
realisationE = realisationE + 1
frequence = realisationE/n
plt.plot(n,frequence,'b.')
plt.show()
frequenceE(1000)
Etude mathématique
On s’intéresse à la probabilité de l’événement E : « La longueur AB est supérieur ou égale à 0,5 »
A chaque tirage au hasard de \(a \text{ et de } b \), on associe le point \( M(a ; b) \) dans un repère orthonormé \( (O, I, J) \).
Reproduire le carré ci-dessous ;
y faire figurer les points \( M_1(0,9 ; 0,35) \text{ et } M_2(0,4 ; 0,6). \)
Préciser dans chaque cas si E est réalisé ou non.
On admet que des points situés dans une même partie
colorée du carré correspondent tous à des issues qui, soit réalisent E soit ne réalisent pas E.
Quelles parties correspondent à la réalisation de E ?
Compléter les six lignes du script suivant afin d’obtenir le graphique en dessous :
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from random import*
from math import *
def nuageDePoints(nb_tirages) :
plt.axis([0,1,0,1])
plt.title('Elément de E (rouge), Elément de non E (bleu)')
for i in range(1,nb_tirages+1):
# à compléter
# à compléter
# à compléter
# à compléter
# à compléter
# à compléter
plt.show()
nuageDePoints(1000)
Les probabilités des événements sont proportionnelles aux aires des parties qui leur sont associées.
Quelle est la probabilité de E ?
Comparer avec l’estimation obtenue dans la partie A.
Une proposition de réponse :
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from random import*
from math import *
def abs(x):
if x >=0:return x
else:return -x
def nuageDePoints(nb_tirages) :
plt.axis([0,1,0,1])
plt.title('Elément de E (rouge), Elément de non E (bleu)')
for i in range(1,nb_tirages+1):
a = random()
b = random()
if abs(a-b)>0.5:
plt.plot(a,b,'r.')
else:
plt.plot(a,b,'b.')
plt.show()
nuageDePoints(1000)
